on aura
![{\displaystyle \left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}-\mathrm {C} \right)\mathrm {P} =p^{\mathrm {A} -1}-b^{\frac {\mathrm {A} -1}{2}}=p^{\mathrm {A} -1}-1-\left(b^{\frac {\mathrm {A} -1}{2}}-1\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc335aa117418d70842ad1602d27958d64ca575)
multiplious cette équation par
que nous supposerons égal à
et l’on aura
![{\displaystyle \left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}-\mathrm {C} \right)\mathrm {PQ=Q} \left(p^{\mathrm {A} -1}-1\right)-\left(b^{\mathrm {A} -1}-1\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc6afe0f63cb0aaed005c6dfe2b712b288230)
Or, par le Théorème connu de Fermat, que M. Euler a démontré dans les Commentaires de Pétersbourg, on sait que si
est un nombre premier quelconque et
un autre nombre quelconque non divisible par
sera toujours divisible par
Donc, si l’on suppose que
ne soit pas divisible par
on aura les deux nombres
et
divisibles à la fois par
à cause que
n’est jamais divisible par
quel que soit
(hypothèse). Donc le nombre
sera divisible par
de sorte que, si ni
ni
n’étaient divisibles par
il faudrait que
le fût, à cause que
est un nombre premier par l’hypothèse. Ainsi la difficulté se réduit à prouver que l’on peut toujours prendre
et
tels que ni
ni
ne soient pas divisibles par
ne l’étant pas non plus.
Pour cela je remarque d’abord que, quelle que soit la valeur de
on peut toujours trouver une valeur de
plus petite que
et par conséquent non divisible par
telle que
ne soit pas divisible par
Car si l’on substitue successivement dans l’expression de
les nombres
jusqu’à
inclusivement à la place de
et qu’on nomme
les valeurs résultantes de
on aura, par la théorie connue des différences,
![{\displaystyle \mathrm {P'-(A-3)P''+{\frac {(A-3)(A-4)}{2}}P'''-\ldots P^{(A-2)}=1.2.3.4\ldots (A-3)} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2020b2d5b49688d3a975c6f09b83156319e8dfb)
Or, si tous les nombres
jusqu’à
étaient divisibles par
il faudrait que le nombre
le fût aussi ; ce qui ne pouvant être à cause que
est premier, il s’ensuit que parmi les nombres
il s’en trouvera nécessairement quelqu’un qui ne sera pas divisible par
donc, etc.