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Il s’ensuit de là que si $\mathrm {A} a$ est la somme de quatre carrés, $\mathrm {A} a'$ sera aussi la somme de quatre carrés, $a'$ étant plus petit que ${\frac {b}{2}}+{\frac {1}{b}}$ et $a=b\rho \,;$ ainsi si $a$ est plus grand que $1,$ $a'$ sera nécessairement plus petit que $a\,;$ et, si $a'$ est encore plus grand que $1$ on prouvera de la même manière que $\mathrm {A} a''$ sera aussi la somme de quatre carrés, $a''$ étant plus petit que $a'\,;$ et ainsi de suite ; donc comme les nombres $a,a',a'',\ldots$ sont des nombres entiers, dont aucun ne peut être égal à zéro (à cause que ces nombres sont des diviseurs des nombres $1+\alpha ^{2}+\beta ^{2},1+\alpha '^{2}+\beta '^{2}\ldots$ qui, comme on voit, ne peuvent jamais devenir nuls), et que ces nombres vont en diminuant, il est clair qu’on parviendra nécessairement à un de ces nombres qui sera égal à l’unité, et alors on aura $\mathrm {A}$ égal à la somme de quatre carrés entiers.

Corollaire. — Si un nombre premier quelconque est un diviseur de la somme de quatre carrés qui n’aient point de commun diviseur, ce nombre sera aussi la somme de quatre carrés.

Car nommant, comme ci-dessus, $\mathrm {A}$ le nombre premier donné et $p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}$ le nombre composé de quatre carrés qui est divisible par $\mathrm {A} ,$ il est clair que, si chacune des racines $p,q,r,s$ était moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ on aurait

$p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}<4\left({\frac {\mathrm {A} }{2}}\right)^{2}<\mathrm {A} ^{2}\,;$

de sorte que $\mathrm {A}$ seraitplus grand que ${\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}}}$ comme on l’a supposé dans le Théorème précédent ; donc, etc.

Or je dis que quels que soient les nombres $p,q,\ldots ,$ on peut toujours les réduire à être moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}\,;$ car soit, par exemple, $p>{\frac {\mathrm {A} }{2}},$ il est visible que si $p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}$ est divisible par $\mathrm {A} ,$ $(p-m\mathrm {A} )^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}$ le sera aussi, de même que $(m\mathrm {A} -p)^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2},$ quelque soit le nombre $m\,;$ or on peut toujours prendre $m$ tel que $p-m\mathrm {A}$ ou $m\mathrm {A} -p$ soit moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}\,;$ donc il n’y aura qu’à mettre au lieu de $p$ le nombre