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où je remarque encore que tous les termes étant multipliés par $t,$ excepté ceux-ci

$\left(\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)b,$

il faudra que le nombre $\left(\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)b$ soit divisible par $t,$ et comme $b$ et $t$ sont premiers entre eux, il faudra que $\gamma ^{2}+\delta ^{2}$ soit divisible par t.

Si l’on multiplie l’équation que nous venons de trouver par $a',$ elle pourra se mettre sous cette forme

$\mathrm {A} a't=(a't+\alpha \gamma +\beta \delta )^{2}+\left(\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)a'b-(\alpha \gamma +\beta \delta )^{2},$

ou bien sous celle-ci

$\mathrm {A} a't=(a't+\alpha \gamma +\beta \delta )^{2}+\gamma ^{2}\left(a'b-\alpha ^{2}\right)+\delta ^{2}\left(a'b-\beta ^{2}\right)-2\alpha \beta \gamma \delta \,;$

mais on a

$a'b=1+\alpha ^{2}+\beta ^{2},$

donc l’équation précédente deviendra

$\mathrm {A} a't=(a't+\alpha \gamma +\beta \delta )^{2}+\gamma ^{2}\left(1+\beta ^{2}\right)+\delta ^{2}\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha \beta \gamma \delta ,$

c’est-à-dire

$\mathrm {A} a't=(a't+\alpha \gamma +\beta \delta )^{2}+(\beta \gamma -\alpha \delta )^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}.$

Or nous avons dit ci-dessus que $\gamma ^{2}+\delta ^{2}$ doit être divisible par $t,$ donc il faudra aussi que le nombre

$(a't+\alpha \gamma +\beta \delta )^{2}+(\beta \gamma -\alpha \delta )^{2}$

le soit ; mais on a

$t=m^{2}+n^{2},$

donc, par le Corollaire II du Lemme, chacun des deux quotients sera nécessairement la somme de deux carrés ; de sorte qu’on aura

$\gamma ^{2}+\delta ^{2}=t\left(p'^{2}+q'^{2}\right)\quad {\text{et}}\quad (a't+\alpha \gamma +\beta \delta )^{2}+(\beta \gamma -\alpha \delta )^{2}=t(r'^{2}+s'^{2}).$

Donc on aura, après avoir divisé toute l’équation par $t,$

$\mathrm {A} a'=p'^{2}+q'^{2}+r'^{2}+s'^{2}.$