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Corollaire II. — Si la somme de deux carrés est divisible par une autre somme de deux carrés, le quotient sera toujours égal à la somme de deux carrés.

Car soit $a^{2}+b^{2}$ divisible par $c^{2}+d^{2},$ et si les nombres $a,b,c,d$ ont une commune mesure, dénotons-la par $l,$ en sorte que l’on ait

$a=lp,\quad b=lq,\quad c=lr,\quad d=ls,$

et que $p,q,r,s$ n’aient aucun commun diviseur ; donc on aura

${\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {p^{2}+q^{2}}{r^{2}+s^{2}}}.$

de sorte que $p^{2}+q^{2}$ sera divisible par $r^{2}+s^{2}\,;$ or, faisant $r^{2}+s^{2}=\rho ,$ on aura par le Corollaire précédent ${\frac {p^{2}+q^{2}}{\rho }}$ égal à la somme de deux carrés ; donc, etc.

Théorème I.

Si la somme de quatre carrés est divisible par un nombre premier plus grand que la racine carrée de la même somme, ce nombre sera nécessairement égal à la somme de quatre carrés.

Car soit $p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}$ divisible par $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {A}$ étant un nombre premier, en sorte que l’on ait

$\mathrm {A} a=p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2},$

et comme on suppose que le diviseur $\mathrm {A}$ est plus grand que

${\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}}},$

il est clair que le quotient $a$ sera plus petit que la même racine, de sorte qu’on aura $a<A.$

Cela posé, si les nombres $p,q,r$ et $s$ ont un diviseur commun $d,$ il est clair que la somme de leurs carrés sera divisible par $d^{2},$ et qu’ainsi il faudra que $\mathrm {A} a$ le soit aussi ; or $d^{2}$ étant plus petit que $\mathrm {A} a,$ $d$ sera plus petit que ${\sqrt {\mathrm {A} a}}<\mathrm {A} ,$ à cause de $\mathrm {A} <a\,;$ donc, puisque $\mathrm {A}$ est premier (hypo-