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que $m$ et $n$ seront premiers entre eux ; autrement les quatre nombres $p,q,r$ et $s$ auraient une commune mesure, ce qui est contre l’hypothèse. Maintenant soit $\mu$ la plus grande commune mesure entre $m^{2}$ et $\rho ,$ en sorte que l’on ait $\rho =\mu \rho ',$ et que $\rho '$ soit premier à ${\frac {m^{2}}{\mu }}\,;$ donc $m^{2}$ sera divisible par $\mu ,$ et il faudra que $p'^{2}+q'^{2}$ le soit par $\rho ',$ de sorte qu’on aura

${\frac {p^{2}+q^{2}}{\rho }}={\frac {m^{2}}{\mu }}{\frac {p'^{2}+q'^{2}}{\rho '}}\,;$

or $p'$ et $q'$ étant premiers entre eux, il suit du Lemme précédent que tant le diviseur $\rho '$ que le quotient seront la somme de deux carrés ; ainsi l’on aura

${\frac {p'^{2}+q'^{2}}{\rho '}}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}.$

Soit de plus $\nu ^{2}$ le plus grand facteur carré du nombre $\mu ,$ en sorte que $\mu =\nu ^{2}\mu ',$ $\mu '$ étant un nombre qui ne soit divisible par aucun carré, et il est clair que $m^{2}$ ne pourra être divisible par $\mu$ à moins que $m$ ne le soit par $\nu \mu '\,;$ soit donc $m=\mathrm {K} \nu \mu ',$ et l’on aura

${\frac {m^{2}}{\mu }}=\mathrm {K} ^{2}\mu '.$

Or $n^{2}(r'^{2}+s'^{2})$ doit être aussi divisible par $\rho =\mu \rho '\,:$ donc $\mu$ divisera $n^{2}(r'^{2}+s'^{2})\,;$ mais $\mu$ divise déjà $m^{2}\,;$ donc, puisque $m^{2}$ et $n^{2}$ sont premiers entre eux, il s’ensuit que $\mu$ sera aussi premier à $n^{2}$ par conséquent il faudra que $\mu$ divise $r'^{2}+s'^{2}$ et comme $\mu =\nu ^{2}\mu ',$ $\mu '$ sera aussi un diviseur de $r'^{2}+s'^{2}s\,;$ donc, puisque $r'$ et $s'$ sont premiers entre eux, le diviseur $\mu '$ sera égal à la somme de deux carrés par le Lemme. Faisant donc $\mu '=\gamma ^{2}+\delta ^{2},$ on aura

${\frac {m^{2}}{\mu }}=\mathrm {K} ^{2}\left(\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)\,;$

et de là

${\frac {p^{2}+q^{2}}{\rho }}=\mathrm {K} ^{2}\left(\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)=\mathrm {K} ^{2}(\gamma \alpha +\delta \beta )^{2}+\mathrm {K} ^{2}(\gamma \beta -\delta \alpha )^{2},$

c’est-à-dire égal à la somme de deux carrés. On démontrera de la même manière que le quotient ${\frac {r^{2}+s^{2}}{\rho }}$ sera aussi égal à la somme de deux carrés.