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est erepta fateor me adhuc hanc demonstrationem invenire non potuisse, etc. »

C’est donc cette dernière proposition seule qu’il s’agit de démontrer. Or pour cela nous n’aurons pas besoin de supposer que le diviseur soit aussi représenté par la somme de quatre carrés, et nous démontrerons, en général, que tout nombre premier qui est diviseur d’un nombre quelconque composé de quatre ou d’un moindre nombre de carrés, sans l’être de chacun des carrés en particulier, est nécessairement aussi composé de quatre ou d’un moindre nombre de carrés ; après quoi il n’y aura plus rien à désirer pour la démonstration complète du Théorème général de Bachet, que nous nous sommes proposé de donner dans ce Mémoire.

Lemme.

Les nombres qui sont la somme de deux carrés premiers entre eux n’admettent d’autres diviseurs que ceux qui sont pareillement la somme de deux carrés.

Cette proposition, qui est de M. Fermat, a été démontrée par M. Euler dans un Mémoire imprimé dans le tome IV des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg.

Corollaire I. — Si deux nombres égaux chacun à la somme de deux carrés tels que $p^{2}+q^{2}$ et $r^{2}+s^{2},$ sont divisibles par un même nombre $\rho ,$ et que les quatre carrés $p^{2},q^{2},r^{2},s^{2}$ n’aient aucun diviseur commun, je dis que les deux quotients ${\frac {p^{2}+q^{2}}{\rho }}$ et ${\frac {r^{2}+s^{2}}{\rho }}$ seront aussi chacun égaux à la somme de deux carrés.

Car soit $m$ la plus grande commune mesure de $p$ et $q,$ et $n$ la plus grande commune mesure de $r$ et $s,$ de sorte qu’en faisant

$p=mp',\quad q=mq',\quad r=nr',\quad s=ns'$

les nombres $p'$ et $q'$ soient premiers entre eux, comme aussi les nombres $r'$ et $s'$ entre eux ; on aura donc les deux nombres $m^{2}\left(p'^{2}+q'^{2}\right)$ et $n^{2}\left(r'^{2}+s'^{2}\right)$ qui seront divisibles à la fois par $\rho .$ Or je remarque d’abord