d’y démontrer cette proposition générale que tout nombre est, ou triangulaire, ou composé de deux ou de trois nombres triangulaires ; qu’il est, ou carré, ou composé de deux, ou de trois, ou de quatre carrés, et ainsi de suite ; mais cet Ouvrage n’a jamais paru, et dans tout ce qui nous reste des écrits de ce grand Géomètre, on ne trouve absolument rien qui puisse fournir la moindre lumière pour la démonstration dont il s’agit. À l’égard de M. Euler, si son travail sur ce sujet n’a pas eu tout le succès qu’on pourrait désirer, on lui a du moins l’obligation d’avoir ouvert la route qu’il faut suivre dans ces sortes de recherches. On peut voir dans le tome V des Nouveaux Commentaires de Pètersbourg le résultat des tentatives ingénieuses que ce grand Géomètre a faites pour parvenir à démontrer le Théorème de M. Bachet.
M. Euler fait voir que le produit de deux, ou de plusieurs nombres, dont chacun serait composé de quatre carrés entiers, sera aussi toujours composé de quatre, ou d’un moindre nombre de carrés entiers ; d’où il suit d’abord que si le Théorème proposé peut être démontré pour tous les nombres premiers, il le sera aussi pour tous les autres nombres. M. Euler démontre, de plus, qu’un nombre premier quelconque étant proposé, on peut toujours trouver deux ou trois nombres carrés dont la somme soit divisible par ce nombre sans que chacun des carrés en particulier le soit, et que ces nombres carrés peuvent toujours être supposés tels que le quotient de la division de leur somme par le nombre premier donné soit moindre que ce même nombre. De là M. Euler conclut, avec raison, que le Théorème en question serait démontré pour tous les nombres premiers si l’on pouvait seulement démontrer cette autre proposition, savoir, que lorsque le produit de deux nombres est la somme de quatre ou d’un moindre nombre de carrés, et que l’un des nombres produisants est pareillement la somme de quatre ou d’un moindre nombre de carrés, l’autre produisant le sera de même. « Si summa quatuor quadratorum (dit-il, page 55 du volume cité) fuerit divisibilis per summam quatuor quadratorum tum quotum non solurn in fractis sed etiam in integris esse summam quatuor quadratorum, est Theorema elegantissimum Fermatii, cujus demonstratio cum ipso nobis
