DÉMONSTRATION
D’UN
THÉORÈME D’ARITHMÉTIQUE.
et Belles-Lettres de Berlin, 1770.)
C’est un Théorème connu depuis longtemps que tout nombre entier non carré peut toujours se décomposeren deux, ou trois, ou quatre carrés entiers ; mais personne, que je sache, n’en a encore donné la démonstration. M. Bachet de Méziriac est le premier qui ait fait mention de ce Théorème ; il paraît qu’il y a été conduit par la question 31e du IVe Livre de Diophante, où le Théorème dont nous parlons est en quelque sorte tacitement supposé ; mais M. Bachet s’est contenté de s’assurer de la vérité de ce Théorème par induction, en examinant successivement tous les nombres entiers depuis jusqu’à et quant à la démonstration générale, il avoue qu’il n’avait pas encore pu y parvenir. « Mihi sane (dit-il dans son Commentaire à la question citée) perfecta id demonstratione assequi nondum licuit, quam qui proferet maximas ei habebo gratias, præsertim cum non solum in hac quæstione sed et in nonnullis libri quinti hoc supponere videatur Diophantus. » Je ne connais, jusqu’à présent, que deux Auteurs qui se soient appliqués à cette recherche, savoir M. Fermat et M. Euler. Dans les Notes que le premier a ajoutées au Commentaire de Bachet sur Diophante, il annonce un grand Ouvrage qu’il avait dessein de composer sur la théorie des nombres, et il promet
