De là, et de ce que nous avons dit plus haut, il s’ensuit que les deux équations que M. Fontaine donne pour la solution générale du Problème des tautochrones ne sauraient jamais fournir une solution plus générale que celle qui est renfermée dans ma formule de 1767, que M. Fontaine accuse d’être trop particulière. Aussi l’application que M. Fontaine prétend faire de ses équations au cas où la force serait exprimée par
et étant des constantes et une fonction de est illusoire et fautive, comme il est facile de s’en convaincre, avec un peu de réflexion, d’après les remarques que nous venons de faire sur ce sujet.
26. Je dois remarquer encore, quoique ceci n’ait aucun rapport au Problème des tautochrones, que M. Fontaine ne s’exprime pas exactement quand il dit qu’il a appris aux Géomètres les conditions qui rendent possibles les équations différentielles du premier degré à trois variables. Il me semble que les Géomètres les connaissaient longtemps avant que M. Fontaine fût en état de les leur enseigner. Car on trouve dans un Mémoire de M. Nicolas Bernoulli sur les Trajectoires, imprimé en partie dans les Actes de Leipsic de l’année 1720, en partie dans le tome VII des Suppléments, qui a paru en 1721, et réimprimé ensuite dans le second volume des Œuvres de M. Jean Bernoulli, on trouve, dis-je, dans ce Mémoire, le Théorème suivant
Si l’on a l’équation et étant des fonctions de et et qu’on suppose, en général, on aura nécessairement, en regardant comme constante, l’équation
laquelle servira à déterminer (Voyez les pages 311 et 312 des Suppléments cités à la page 443 du tome II des Œuvres de M. Jean Bernoulli.)
Or si l’on suppose qu’en regardant comme constante on ait, en général,
