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rement trois équations qui seront les mêmes que celles du numéro cité, en y mettant simplement $\alpha$ à la place de $\mathrm {X} .$

En général, soit la première équation de M. Fontaine représentée par

$q=0,$

on aura nécessairement, dans le cas où cette équation n’est pas identique, les deux équations

on aura nécessairement, dans le cas où cette équation n’est pas identique, les deux équations

${\frac {dq}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dq}{du}}=0,\quad {\frac {dq}{da}}-{\frac {r}{u}}{\frac {dq}{du}}=0,$

où (4)

$r=p\alpha +u^{2}{\frac {d\alpha }{dx}}\,;$

et ces deux équations devront être identiques avec l’équation $q=0\,;$ autrement, le cas dont il s’agit ne pourra pas avoir lieu.

25. Voyons maintenant ce que donne la seconde équation de M. Fontaine. Il est facile de voir que cette équation se réduit à celle-ci

${\frac {dq}{du}}=0,$

à cause que M. Fontaine suppose ${\frac {d^{2}p}{dxdu}}=0$ et que $\alpha$ ne doit point contenir $u\,;$ de sorte, qu’on aura, suivant M. Fontaine,

$q=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {dq}{du}}=0.$

Or je dis que cela ne saurait avoir lieu que lorsque l’équation $q=0$ est identique ; car si cette équation n’est pas identique, il faudra que l’on ait en même temps, comme nous venons de le dire ci-dessus,

${\frac {dq}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dq}{du}}=0,\quad {\text{et}}\quad {\frac {dq}{da}}-{\frac {r}{u}}{\frac {dq}{du}}=0\,;$

donc si l’on fait ${\frac {dq}{du}}=0,$ il faudra faire aussi ${\frac {dq}{dx}}=0$ et ${\frac {dq}{da}}=0,$ ce qui exige que l’équation $q=0$ soit identique, c’est-à-dire qu’elle n’exprime aucune relation entre les trois variables $x,u$ et $a.$