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Quant aux conditions auxquelles notre théorie exige que la quantité $\mathrm {X}$ soit soumise, elles s’accordent aussi avec celles que M. Fontaine exige dans la fonction $\alpha ,$ à cela près que nous avons trouvé que la quantité $\mathrm {X}$ devait être égale à $-1$ lorsque $x=a,$ et que M. Fontaine suppose que la fonction $\alpha$ soit égale à $1$ lorsque $x=a\,;$ mais il faut observer que, comme l’équation de M. Fontaine dont nous venons de parler contient la quantité $\alpha$ ou ses différentielles dans tous les termes, on y peut supposer également $\alpha$ positif ou négatif ; ainsi, si l’on met dans notre équation (F) $-\alpha$ à la place de $\mathrm {X} ,$ on aura également l’équation de M. Fontaine, et alors les conditions de $\alpha$ et de $\mathrm {X}$ seront les mêmes chez lui et chez nous.

24. Si donc M. Fontaine s’en était tenu à sa première équation, il aurait pu en tirer une solution générale du Problème des tautochrones ; mais il aurait dû, pour cela, distinguer les deux cas où cette équation est identique et où elle ne l’est pas, comme nous l’avons fait dans les Problèmes précédents. Or nous avons vu que le premier cas ne peut avoir lieu que lorsque la force $p$ est exprimée ainsi

$p=u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\cfrac {u}{\xi }}\right)}{\xi }}-{\frac {1}{\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}\right],$

ce qui revient à notre Solution de 1767, où nous étions parti de la supposition que le temps devait être une fonction de dimension nulle de deux fonctions pareilles, l’une de $x$ et l’autre de $a$ (13).

Ainsi, en supposant que l’équation de M. Fontaine doive être identique, il est clair que sa Solution ne saurait être plus générale que la mienne de 1767 ; mais ma Solution a sur la sienne l’avantage de présenter dans une seule formule générale tous les cas dans lesquels le Problème est résoluble, et c’est en quoi consiste principalement le mérite de cette Solution, si elle en a quelqu’un.

Mais si l’on veut que l’équation de M. Fontaine ne soit pas identique, alors on aura encore deux autres équations analogues à celles que nous avons données dans le n^o 14, de sorte que dans ce cas on aura nécessai-