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positif, on aura

$\mathrm {V} =u^{n-2},\quad \int \mathrm {V} udu={\frac {u^{n}}{n}},$

et l’expression de $p$ sera

$p={\frac {1}{n\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}u^{2}-{\frac {1}{\xi u^{n-1}}}.$

Si l’on fait $n=1,$ on aura

$p={\frac {1}{\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}u^{2}-{\frac {1}{\xi }}.$

Ce qui pourrait servir, ce semble, à déterminer les tautochrones dans les milieux résistants comme les carrés des vitesses ; mais il faut remarquer que le coefficient de $u^{2}$ dans l’expression de $p$ que nous venons de trouver ne peut jamais être constant ; car supposant ${\frac {1}{\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}=\mathrm {K} ,$ on aurait $\xi =he^{\mathrm {K} x},$ ce qui n’est pas nul lorsque $x=0,$ contre l’hypothèse ; donc la formule précédente ne pourra avoir lieu que lorsqu’on supposera la densité du milieu variable.

La solution que nous venons de donner est analogue à celle que nous avons déjà donnée à la fin de notre Mémoire de 1767. M. d’Alembert en a donné de son côté une pareille, qu’il a accompagnée d’un grand nombre de remarques très-intéressantes, et qui lui sont propres ; c’est pourquoi nous ne nous arrêterons pas davantage sur ce sujet.

Remarques sur la solution du Problème des tautochrones, donnée par M. Fontaine dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, pour l’année 1768.

21. M. Fontaine réduit la solution de ce Problème à deux équations qui, en faisant $\mathrm {S} =0,$ pour avoir le cas du tautochronisme, se réduisent à celles-ci (p. 468)

${\begin{aligned}&\alpha {\frac {dp}{dx}}-p{\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\alpha }{dx}}{\frac {dp}{du}}u+{\frac {d^{2}\alpha }{dx^{2}}}u^{2}=0,\\&{\frac {d\alpha }{dx}}{\frac {d^{2}p}{du^{2}}}+2{\frac {d^{2}\alpha }{dx^{2}}}=0,\end{aligned}}$