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Or c’est ce qui aura lieu si l’on a $u\mathrm {X} =0$ lorsque $x=0,$ et ${\frac {1}{u}}+p\mathrm {X} =0$ lorsque $u=0.$ Maintenant, pour que

$\left({\frac {1}{u}}+p\mathrm {X} \right)dx+\mathrm {X} udu$

soit intégrable, il faut que l’on ait

${\frac {1}{u}}+p\mathrm {X} =\int {\frac {d(\mathrm {X} u)}{dx}}du=\int {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}udu\,;$

donc on aura, en général,

$p={\frac {\int {\cfrac {d\mathrm {X} }{dx}}udu-{\cfrac {1}{u}}}{\mathrm {X} }},$

$\mathrm {X}$ étant une fonction quelconque de $x$ et de $u$ telle que l’on ait $\mathrm {X} =0$ lorsque $x=0$ et $\int {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}udu=0$ lorsque $u=0.$

Soit, par exemple,

$\mathrm {X} =\xi \mathrm {V} ,$

$\xi$ étant une fonction de $x$ telle qu’elle soit égale à zéro lorsque $x=0,$ et $\mathrm {V}$ une fonction de $u\,;$ on aura donc

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\mathrm {V} {\frac {d\xi }{dx}}\quad {\text{et}}\quad \int {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}udu={\frac {d\xi }{dx}}\int \mathrm {\mathrm {V} } udu,$

de sorte que $\mathrm {V}$ devra être tel que $\int \mathrm {V} udu$ soit nul lorsque $u=0\,;$ de cette manière on aura, en général,

$p={\frac {1}{\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}{\frac {\int \mathrm {V} udu}{\mathrm {V} }}-{\frac {1}{\xi \mathrm {V} u}}.$

Supposons $\mathrm {V} =u^{m},$ on aura

$\int \mathrm {V} udu={\frac {u^{m+2}}{m+2}}\,;$

d’où l’on voit que $m+2$ doit être plus grand que zéro, c’est-à-dire $m>-2.$ Faisons donc $m+2=n$, $n$ étant un nombre quelconque