inconnue des mêmes variables, laquelle devra être telle, que la quantité dont il s’agit soit une différentielle complète. D’où il s’ensuit qu’on aura
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} }{r}}=\int {\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}dx+\varphi (y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea16919075242cc9dd6bc1a28f12e94241401dd2)
étant une fonction quelconque de
et par conséquent
![{\displaystyle r={\frac {\mathrm {Z} }{\varphi (y)+\int {\cfrac {d\mathrm {Y} }{dy}}dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc69bc404167860f9ce69d4c82dd9b2795bcffd8)
Ayant
on aura
par la formule ci-dessus, de sorte qu’en remettant
à la place de
on aura
en
et ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
20. Scolie. Au reste, puisque l’on a
![{\displaystyle dt={\frac {dx}{u}}\quad {\text{et}}\quad udu+pdx=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30671d46d169403af7e854d05ae2b5f357f3880b)
on aura aussi
![{\displaystyle dt={\frac {dx}{u}}+\mathrm {X} (udu+pdx),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77727557ed2a1a490970e04799bb1371a687281)
étant une quantité quelconque ; donc on pourra déterminer
en sorte que la quantité
ou
![{\displaystyle \left({\frac {1}{u}}+p\mathrm {X} \right)dx+\mathrm {X} udu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d475b4b8ad35643429e28072ccc2ba406224493b)
soit intégrable ; alors le temps
deviendra une fonction de
et de
or
doit être égal à zéro lorsque
et pour avoir le temps total il faudra faire
donc si l’on veut que le tautochronisme ait lieu, il faudra que l’intégrale de
![{\displaystyle \left({\frac {1}{u}}+p\mathrm {X} \right)dx+\mathrm {X} udu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d475b4b8ad35643429e28072ccc2ba406224493b)
soit une telle fonction de
et de
qu’elle s’évanouisse lorsque
et qu’elle devienne constante, c’est-à-dire indépendante de
lorsque
.