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or, en réduisant en série le radical ${\sqrt {b^{2}-4ac}},$ on a

$b-{\frac {2ac}{b}}-{\frac {(2ac)^{2}}{2b^{3}}}-{\frac {1.3(2ac)^{3}}{2.3.b^{5}}}-{\frac {1.3.5(2ac)^{4}}{2.3.4.b^{7}}}-\ldots ,$

ou bien

$b-2\left({\frac {ac}{b}}+{\frac {a^{2}c^{2}}{b^{3}}}+{\frac {4a^{3}c^{3}}{2b^{5}}}+{\frac {6.5.a^{4}c^{4}}{2.3.b^{7}}}+\ldots \right)\,;$

de sorte que les deux valeurs de $x$ seront

${\begin{aligned}&{\frac {b}{c}}-{\frac {a}{b}}-{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}-{\frac {4a^{3}c^{2}}{2b^{5}}}-{\frac {6.5.a^{4}c^{3}}{2.3.b^{7}}}-\ldots ,\\&{\frac {a}{b}}+{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}+{\frac {4a^{3}c^{2}}{2b^{5}}}+{\frac {6.5.a^{4}c^{3}}{2.3.b^{7}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

or, cette dernière est précisément la même que celle que nous ayons trouvée plus haut.

10. Comme toute la difficulté se réduit (8) à trouver les coefficients $\alpha ,\beta ,$$\gamma ,\ldots$ des puissances négatives de $x$ dans la série

${\frac {\mathrm {X} }{b}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots ,$

tâchons de rendre la recherche de ces coefficients aussi facile et en même temps aussi générale qu’il est possible. Pour cela, je remarque que

${\frac {\mathrm {X} }{b}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots =-\log \left(1-{\frac {\mathrm {X} }{b}}\right)\,;$

de sorte que, comme

$\mathrm {X} ={\frac {a}{x}}+cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots ,$

si l’on fait, pour abréger,

$\xi ={\frac {cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots }{b}},$