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donc

$r=p\left(\mathrm {X} -u{\frac {d\mathrm {X} }{du}}\right)+u^{2}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}.$

Maintenant, si l’on tire la valeur de $p$ de cette équation, on aura

$p={\frac {r-u^{2}{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}}{\mathrm {X} -u{\dfrac {d\mathrm {X} }{du}}}},$

et cette valeur étant substituée dans la quantité ${\frac {udu+pdx}{r}},$ on aura celle-ci

${\frac {udu}{r}}+{\frac {dx-{\cfrac {u^{2}}{r}}{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}dx}{\mathrm {X} -u{\dfrac {d\mathrm {X} }{du}}}},$

ou bien

${\frac {dx}{\mathrm {X} -u{\cfrac {d\mathrm {X} }{dx}}}}+{\frac {\mathrm {X} udu-u^{2}\left({\cfrac {d\mathrm {X} }{du}}du+{\cfrac {d\mathrm {X} }{dx}}dx\right)}{r\left(\mathrm {X} -u{\cfrac {d\mathrm {X} }{du}}\right)}},$

c’est-à-dire, à cause de $d\mathrm {X} ={\frac {d\mathrm {X} }{du}}du+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}dx,$

${\frac {dx}{\mathrm {X} -u{\cfrac {d\mathrm {X} }{dx}}}}+{\frac {u\mathrm {X} ^{2}}{r\left(\mathrm {X} -u{\cfrac {d\mathrm {X} }{du}}\right)}}d{\cfrac {u}{\mathrm {X} }},$

laquelle devra donc être une différentielle complète.

Soit

${\frac {u}{\mathrm {X} }}=y\,;$

tirant de cette équation la valeur de $u,$ elle sera exprimée en $x$ et $y,$ de sorte que, substituant cette valeur dans la quantité précédente, on aura une quantité de la forme

$\mathrm {Y} dx+{\frac {\mathrm {Z} }{r}}dy,$

où $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z}$ seront des fonctions données de $x$ et $y,$ et où $r$ sera une fonction