Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/178

fonction donnée de $u,$ et $\xi$ une fonction inconnue de $x,$ on substituera dans l’équation précédente cette valeur de $p,$ ce qui donnera

${\begin{aligned}\mathrm {X} {\frac {d\xi }{dx}}&+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\left(u{\frac {d\mathrm {V} }{du}}-\mathrm {V} -\xi \right)+{\frac {d\mathrm {X} }{du}}u{\frac {d\xi }{dx}}\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}u^{2}+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{du^{2}}}(\xi +\mathrm {V} )^{2}-2{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dudx}}(\xi +\mathrm {V} )u=0.\end{aligned}}$

Et l’on tâchera de déterminer par cette équation les quantités $\xi$ et $\mathrm {X} ,$ en sorte que $\xi$ soit une fonction quelconque de $x$ seul, et que $\mathrm {X}$ soit une fonction de $x$ et de $u$ assujettie aux conditions énoncées dans le n^o 16.

19. Corollaire. Si l’on suppose que la quantité $\mathrm {X}$ soit donnée dans l’équation (I), on pourra en tirer la valeur de $p$. Pour cela, je remarque que cette équation peut se réduire à celle-ci

${\frac {d{\dfrac {u}{\mathrm {X} p-{\dfrac {d\mathrm {X} }{du}}pu+{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}u^{2}}}}{dx}}-{\frac {\dfrac {p}{\mathrm {X} p-{\dfrac {d\mathrm {X} }{du}}pu+{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}u^{2}}}{du}}=0,$

ce qui est aisé à vérifier par la différentiation ; de sorte qu’il faudra que la quantité

${\frac {udu+pdx}{p\left(\mathrm {X} -u{\dfrac {d\mathrm {X} }{du}}\right)+u^{2}{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}}}$

soit une différentielle complète d’une fonction de $x$ et de $u.$

En effet, pour que l’équation (E) du n^o 4 soit possible en regardant $p$ et $\mathrm {X}$ comme des fonctions de $x$ et de $u,$ il est clair qu’il faut que ${\frac {udu+pdx}{r}}$ soit une différentielle complète. Or on a, en mettant $\mathrm {P}$ à la place de ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}$ (17),

$r=p\mathrm {X} +\mathrm {P} u^{2}\,;$

mais on a, par le même numéro,

$\mathrm {P} =\mathrm {T} -{\frac {p\mathrm {V} }{u}}={\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {d\mathrm {X} }{du}}\,;$