à cause de
![{\displaystyle d{\frac {p}{u}}={\frac {1}{u}}\left({\frac {dp}{dx}}dx+{\frac {dp}{du}}du\right)-{\frac {pdu}{u^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec640241284eea552b072ba86ea245b550b93241)
et mettant pour
sa valeur ![{\displaystyle -{\frac {pdx}{u}}-{\frac {rda}{u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a18f390e9e9de21d68f182066072f8d5d66f43b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathrm {P} =&\left(\mathrm {W} -{\frac {\mathrm {V} }{u}}{\frac {dp}{dx}}-{\frac {2\mathrm {Y} }{u}}p+{\frac {\mathrm {V} p}{u^{2}}}{\frac {dp}{du}}-{\frac {\mathrm {V} p^{2}}{u^{4}}}+{\frac {\mathrm {Z} p^{2}}{u^{2}}}\right)dx\\&-{\frac {r}{u}}\left(\mathrm {Y} -{\frac {\mathrm {V} }{u}}{\frac {dp}{du}}+{\frac {\mathrm {V} p}{u^{2}}}-{\frac {p\mathrm {Z} }{u}}\right)da,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7fa91d4935a91b1722c3ef4b4d5792f433c9d0)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {R} =\mathrm {W} -{\frac {\mathrm {V} }{u}}\left({\frac {dp}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dp}{du}}+{\frac {p^{2}}{u^{3}}}\right)+{\frac {\mathrm {Z} p^{2}}{u^{2}}}-{\frac {2\mathrm {Y} p}{u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f213342a4ed8d504aa90630722af96badd68e33d)
Substituant donc dans
les valeurs de
et de
que nous venons de trouver, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}q=&\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}+\left(\mathrm {T} -{\frac {p\mathrm {V} }{u}}\right)\left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)+\mathrm {W} u^{2}\\&-{\frac {\mathrm {V} }{u}}\left(u^{2}{\frac {dp}{dx}}-up{\frac {dp}{du}}+{\frac {p^{2}}{u^{2}}}\right)+\mathrm {Z} p^{2}-2\mathrm {Y} up,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b039aa382ac8e514d515cc7d9ad57aed5bdccac)
c’est-à-dire
![{\displaystyle q=\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}+\mathrm {T} \left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)-\mathrm {V} u{\frac {dp}{dx}}+\mathrm {W} u^{2}+\mathrm {Z} p^{2}-2\mathrm {Y} up.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb5ae4463451497f9eb35bce8289f48ffadc5f3)
Or, puisque
est regardé maintenant comme une fonction de
et
on aura
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {d\mathrm {X} }{dx}},\quad \mathrm {V} ={\frac {d\mathrm {X} }{du}},\quad \mathrm {W} ={\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}},\quad \mathrm {Y} ={\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdu}},\quad \mathrm {Z} ={\frac {d^{2}\mathrm {X} }{du^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a289787ea0c82bc5ba8ebea250436ef46b4aab24)
donc, substituant ces valeurs, on aura pour l’équation de condition
(I)
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et cette équation suffira pour la solution du Problème.
18. Donc, si l’on veut que
soit exprimé par
étant une