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résultera soit identique. Or on a (10)

$q=\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}u^{2},$

où $p$ est supposé une fonction de $x$ et $u$ sans $a,$ et $\mathrm {X}$ une fonction de $x$ et $a$ sans $u\,;$ ainsi il ne s’agira que de substituer dans la quantité $\mathrm {X} ,$ et dans ses différentielles ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}},\ {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}$ à la place de $a$ sa valeur en $u$ et $x$ qui est supposée donnée par l’équation (E) ; or, la quantité $\mathrm {X}$ étant indéterminée, on pourra la regarder d’abord comme une fonction de $x$ et $u$ sans $a,$ et alors l’équation $q=0$ devra, être identique.

16. Il faudra seulement observer :

1^o Que la quantité $\mathrm {X}$ devra être égale à $-1$ lorsque $u=0,$ quel que soit $x\,;$ car il faut que $\mathrm {X}$ soit égal à $-1$ lorsque $x=a\,;$ mais on a (hypothèse) $u=0$ lorsque $x=a\,;$ donc il faudra que $\mathrm {X}$ soit égal à $-1$ en y faisant $x=a$ et $u=0\,;$ et comme la quantité $\mathrm {X}$ regardée comme une fonction de $u$ et $x$ est supposée ne pas contenir $a,$ il est clair que cette quantité ne pourra pas devenir égale à $-1$ en faisant $u=0$ et $x=a,$ à moins qu’elle ne le devienne aussi quel que soit $x.$

2^o Qu’en faisant $x=0$ et $u$ tout ce qu’on voudra, la quantité $\mathrm {X}$ devra devenir nulle, et la quantité ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {d\mathrm {X} }{du}}$ finie ; car la quantité $\mathrm {X}$ regardée comme une fonction de $x$ et de $a$ doit être de la forme $\mathrm {D} x$ lorsque $x$ est très-petit (12), $\mathrm {D}$ étant une fonction de $a\,;$ donc, mettant à la place de $a$ sa valeur en $u$ et $x,$ et faisant $x$ nul, la quantité $\mathrm {D}$ deviendra une fonction de $u\,;$ on aura donc, lorsque $x$ est infiniment petit,

$\mathrm {X=D} x,$

et différentiant

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {X} }{du}}du=\mathrm {D} +x{\frac {d\mathrm {D} }{du}}du,$

et mettant à la place de $du$ sa valeur $-{\frac {pdx}{u}},$

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {d\mathrm {X} }{du}}=\mathrm {D} -{\frac {xp}{u}}{\frac {d\mathrm {D} }{du}}\,;$