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sera pas. On aura donc, dans ce cas (6), les trois équations

${\begin{aligned}&q=0,\\&{\frac {dq}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dq}{du}}=0,\\&{\frac {dq}{da}}-{\frac {r}{u}}{\frac {dq}{du}}=0,\\\end{aligned}}$

c’est-à-dire (10)

${\begin{aligned}&\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}u^{2}=0,\\&\mathrm {X} {\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}u{\frac {d^{2}p}{dxdu}}+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}\left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)+{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}u^{2}\\\end{aligned}}$

$-p\left({\frac {\mathrm {X} }{u}}{\frac {d^{2}p}{dudx}}+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}{\frac {d^{2}p}{du^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}\right)=0,$

${\frac {d\mathrm {X} }{da}}{\frac {dp}{dx}}+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxda}}\left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)+{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{2}da}}u^{2}$

$-\left(\mathrm {X} p+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}u^{2}\right)\left({\frac {\mathrm {X} }{u}}{\frac {d^{2}p}{dudx}}+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}{\frac {d^{2}p}{du^{2}}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}\right)=0.$

De sorte qu’il faudra que la valeur de $p$ en $x$ et $u$ soit telle qu’elle satisfasse à la fois à ces trois équations, en prenant pour $\mathrm {X}$ une fonction quelconque de $x$ et de $a$ telle que $\mathrm {X} =-1$ lorsque $x=a,$ et que $\mathrm {X} =0,$ et ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}$ soit égal à une quantité finie lorsque $x=0.$

Or, il est clair que la recherche de la valeur de $p$ par le moyen de ces trois équations sera très-difficile, et qu’ainsi la solution précédente peut être regardée comme plus curieuse qu’utile ; mais elle peut être beaucoup simplifiée par la considération suivante.

15. Troisième Solution. — La Solution précédente est fondée sur la supposition que l’équation de condition $q=0$ soit identique avec l’équation différentielle (E) ; or, pour que cette identité ait lieu, il faut que l’équation $q=0$ exprime la même relation entre les trois quantités $u,x$ et $a,$ qui est exprimée par l’équation différentiellé (E). Donc, si l’on imagine qu’on tire de cette dernière équation la valeur de $a$ en $u$ et $x,$ et qu’on la substitue dans celle-ci, $q=0,$ il faudra que l’équation qui en