Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/173

tion de condition (F) est identique et lorsqu’elle est renfermée dans l’équation différentielle (E) ; il en sera de même du Problème des tautochrones, de sorte qu’on aura ces deux solutions :

13. Première Solution. — En supposant l’équation de condition identique, nous avons trouvé pour $p$ l’expression générale (5 et 7)

$p=u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\dfrac {u}{\xi }}\right)}{\xi }}-{\frac {1}{\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}\right],$

et comme on a dans ce cas (9)

$\mathrm {X} =-{\frac {\xi }{\alpha }},$

$\alpha$ étant une fonction de $a$ semblable à la fonction $\xi$ de $x,$ il est clair qu’en faisant $x=a$ on aura $\xi =\alpha$ et par conséquent $\mathrm {X} =-1.$ Donc l’expression précédente de $p$ sera toujours propre à produire le tautochronisme, quelle que soit la fonction de ${\frac {u}{\xi }}$ désignée par $\varphi \left({\frac {u}{\xi }}\right),$ et quelle que soit aussi la fonction $\xi$ de $x,$ pourvu que celle-ci soit telle qu’on ait $\xi =0$ et ${\frac {d\xi }{dx}}$ égal à une quantité quelconque finie lorsque $x=0$ (12). Cette solution est la même que celle que j’ai donnée dans mon Mémoire de 1767^[1], en la déduisant de la supposition que l’expression du temps soit une fonction quelconque de dimension nulle de deux fonctions semblables, l’une de $a$ et l’autre de $x.$ Cette supposition pouvait paraître alors trop limitée ; mais, après ce que nons venons de démontrer, on voit qu’elle est aussi générale que la question le permet, au moins tant que l’équation de condition doit être identique, ce qui est le cas le plus naturel et en même temps le plus général.

14. Seconde Solution. — Si l’équation de condition n’est pas identique il faut voir si elle peut être renfermée dans l’équation différentielle même, auquel cas le Problème sera encore résoluble, autrement il ne le

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 317.