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et comme dans cette supposition on veut que la quantité $\mathrm {L}$ devienne indépendante de $a,$ il faudra que l’on ait

$\mathrm {M+N} =0\,;$

donc on aura, en faisant $x=a,$

$\mathrm {M=-N} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {{\frac {N}{M}}=X} =-1.$

De sorte qu’on pourra prendre pour $\mathrm {X}$ toute fonction de $x$ et de $a$ telle qu’elle devienne égale à $-1$ lorsqu’on y fait $x=a.$

Mais il faut remarquer que $t$ doit être égal à zéro lorsque $x=0$ (hypothèse) donc si, en faisant $t=0,$ on a $\mathrm {T=K}$ (3) ; il faudra aussi que $\mathrm {L}$ devienne égal à $\mathrm {K}$ lorsque $x=0,$ de sorte qu’en supposant seulement $x$ infiniment petit on aura nécessairement

$\mathrm {L=K+C} x^{m},$

$\mathrm {K}$ étant une constante indépendante de $a,$ $\mathrm {C}$ étant une fonction de $a$ et $m$ un nombre quelconque positif ; donc on aura aussi, en différentiant,

$d\mathrm {L} =m\mathrm {C} x^{m-1}dx+x^{m}{\frac {d\mathrm {C} }{da}}da,$

et par conséquent

$\mathrm {M} =m\mathrm {C} x^{m-1},\quad \mathrm {N} =x^{m}{\frac {d\mathrm {C} }{da}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {X} ={\frac {x}{m\mathrm {C} }}{\frac {d\mathrm {C} }{da}}\,;$

d’où l’on voit que la quantité $\mathrm {X}$ doit être telle qu’elle devienne égale à $x\mathrm {D}$ lorsque $x$ est infiniment petit, $\mathrm {D}$ étant une constante quelconque. Donc il faudra que $\mathrm {X}$ soit égal à zéro lorsque $x=0,$ et que ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}$ soit en même temps une quantité finie quelconque.

Voilà les seules conditions auxquelles la fonction $\mathrm {L}$ doive être assujettie dans le cas du tautochronisme ; à ces limitations près, la fonction $\mathrm {L}$ pourra donc être regardée comme indéterminée, et la solution du Problème sera renfermée dans celle du Problème précédent. Or nous avons vu que ce dernier Problème est résoluble dans deux cas, lorsque l’équa-