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signerai par ${\frac {1}{\alpha }},$ en sorte que les autres termes de la même fonction renferment chacun une puissance de $u\,;$ il est clair que la valeur de $p$ contiendra le terme

$u^{2}\left({\frac {1}{\alpha \mathrm {X} }}-{\frac {1}{\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right),$

et qu’il n’y aura aucun autre terme que celui-ci qui renferme le carré $u^{2}.$ Donc, pour que l’expression de $p$ ne renferme point la quantité $a,$ il faudra que le coefficient

${\frac {1}{\alpha \mathrm {X} }}-{\frac {1}{\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}$

ne la renferme pas non plus, et par conséquent qu’il soit une fonction de $x$ sans $a.$ Soit donc $\omega$ cette fonction, en sorte que l’on ait

${\frac {1}{\alpha \mathrm {X} }}-{\frac {1}{\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\omega ,$

et intégrant dans l’hypothèse de $a$ constante et de $x$ variable, on aura

$\mathrm {X} ={\frac {e^{-\int \omega dx}\int e^{\int \omega dx}dx}{\alpha }},$

mais

$e^{-\int \omega dx}\int e^{\int \omega dx}dx$

est une fonction de $x$ seulement ; donc, dénotant par $\xi$ cette fonction, on aura

$\mathrm {X} ={\frac {\xi }{\alpha }}.$

Substituant donc cette valeur dans l’expression de $p,$ elle deviendra

$p=u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\dfrac {\alpha u}{\xi }}\right)}{\xi }}\alpha -{\frac {1}{\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}\right].$

Donc, il faudra que la fonction $\varphi \left({\frac {\alpha u}{\xi }}\right)$ soit telle, que $\alpha \varphi \left({\frac {\alpha u}{\xi }}\right)$ ne contienne point $a,$ mais qu’elle contienne seulement ${\frac {u}{\xi }}.$ Prenant donc une