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donc, substituant cette valeur, on aura

$\left({\frac {dq}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dq}{du}}\right)dx+\left({\frac {dq}{da}}-{\frac {r}{u}}{\frac {dq}{du}}\right)da=0,$

équation qui devra être identique ; de sorte qu’il faudra que les coefficients de $dx$ et de $du$ soient chacun égal à zéro en particulier, ce qui donnera ces deux équations-ci

(G)

${\frac {dq}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dq}{du}}=0,$

(H)

${\frac {dq}{da}}-{\frac {r}{u}}{\frac {dq}{du}}=0,$

qui devront avoir lieu en même temps que l’équation (F).

Donc, supposant la fonction $\mathrm {X}$ connue en $x$ et $a,$ on pourra, par le moyen de ces trois équations, éliminer $a,$ et il en restera deux qui ne contiendront que les variables finies $x$ et $u,$ avec la quantité $p$ et ses différentielles

${\frac {dp}{dx}},\ \ {\frac {dp}{du}},\ \ {\frac {d^{2}p}{dx^{2}}},\ \ {\frac {d^{2}p}{dxdu}},\ \ {\frac {d^{2}p}{du^{2}}}.$

Ces deux équations devront donc être identiques chacune en particulier, de sorte qu’on pourra les différentier à volonté en prenant $x$ ou $u$ constante, comme on voudra. On pourra donc, par leur moyen, chasser la quantité $p$ et ses différentielles, et il restera une équation finie entre $u$ et $x$ qui devra aussi être identique. Ainsi, ayant trouvé cette dernière équation en $x$ et en $u,$ on verra si elle est identique, auquel cas le Problème sera résoluble, et l’on pourra avoir facilement la valeur de $p$ en $x$ et en $u\,;$ mais si elle ne l’est pas, ce sera une marque que les deux équations (E) et (F) ne sauraient être identiques entre elles, et qu’ainsi le Problème ne pourra pas se résoudre dans cette hypothèse.

7. Corollaire I. — Considérons l’expression générale de $p$ que nous avons trouvée dans le premier cas, et supposons que le terme tout constant de la fonction $\varphi \left({\frac {u}{\mathrm {X} }}\right)$ soit une fonction quelconque de $a$ que je dé-