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gner par $\varphi \left({\frac {u}{\mathrm {X} }}\right)\,;$ donc

$r=u^{2}\varphi \left({\frac {u}{\mathrm {X} }}\right),$

et par conséquent

$p=u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\dfrac {u}{\mathrm {X} }}\right)}{\mathrm {X} }}-{\frac {1}{\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right].$

Or, comme la quantité $a$ est traitée comme constante, elle pourra entrer comme telle dans la fonction indéterminée $\varphi \left({\frac {u}{\mathrm {X} }}\right)\,;$ mais, à cause que $p$ ne doit être qu’une fonction de $u$ et de $x,$ il faudra que $a$ disparaisse de l’expression de $p.$ Nous verrons plus bas comment on peut satisfaire à cette condition.

6. Second cas, où l’équation de condition n’est pas identique. — Ce cas aura lieu lorsque les deux équations (E) et (F) seront identiques l’une avec l’autre ; donc, comme l’équation (F) est finie et que l’équation (E) contient les différentielles premières $dx,du,da,$ il faudra que celle-là soit l’intégrale de celle-ci.

Or l’équation de condition (F) se réduit à celle-ci

(F)

${\frac {dr}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dr}{du}}+{\frac {r}{u}}{\frac {dp}{du}}=0.$

Donc si l’on fait, pour abréger,

$q={\frac {dr}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dr}{du}}+{\frac {r}{u}}{\frac {dp}{du}},$

en sorte qu’on ait $q=0,$ et qu’on différentie cette équation dans l’hypothèse de $u,x$ et $a$ variables, on aura

${\frac {dq}{dx}}dx+{\frac {dq}{du}}du+{\frac {dq}{da}}da=0,$

qui devra être identique avec l’équation (E) ; or celle-ci donne

$du=-{\frac {pdx}{u}}-{\frac {rda}{u}}\,;$