Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/164

Il faudra donc que cette équation ait lieu en même temps que l’équation (E), sans cependant qu’il en résulte aucune nouvelle détermination entre les trois variables $x,u$ et $a.$ Or, c’est ce qui ne peut arriver que dans ces deux cas : 1^o si l’équation (F) est absolument identique ; 2^o si la même équation (F) est renfermée dans l’équation (E). Nous allons examiner ces cas l’un après l’autre.

5. Premier cas, où l’équation de condition est identique. — Dans ce cas, il faudra qu’en regardant $a$ comme constante, la quantité ${\frac {u}{r}}du+{\frac {p}{r}}dx$ soit une différentielle exacte d’une fonction de $u$ et $x,$ car la condition de l’intégrabilité de la différentielle ${\frac {u}{r}}du+{\frac {p}{r}}dx$ est

${\frac {d{\dfrac {u}{r}}}{dx}}={\frac {d{\dfrac {p}{r}}}{du}},$

qui est précisément la même que l’équation (F) ; donc, mettant au lieu de $p$ sa valeur en $r,$ laquelle est ${\frac {r}{\mathrm {X} }}-{\frac {u^{2}}{\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}},$ il faudra que la différentielle

${\frac {udu}{r}}+\left({\frac {1}{\mathrm {X} }}-{\frac {u^{2}}{r\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right)dx,$

c’est-à-dire,

${\frac {u^{2}}{r}}\left({\frac {du}{u}}-{\frac {d\mathrm {X} }{\mathrm {X} }}\right)+{\frac {dx}{\mathrm {X} }},$

soit intégrable : or, à cause que $\mathrm {X}$ est une fonction de $x$ et $a$ sans $u,$ et que $a$ est regardé ici comme constante, il est clair que le terme ${\frac {dx}{\mathrm {X} }}$ sera intégrable de lui-même, de sorte qu’il faudra aussi que les termes restant ${\frac {u^{2}}{r}}\left({\frac {du}{u}}-{\frac {d\mathrm {X} }{\mathrm {X} }}\right)$ le soient ; ce qui ne saurait être à moins que ${\frac {u^{2}}{r}}$ ne soit une fonction de $\log u-\log \mathrm {X}$ ou bien de ${\frac {u}{\mathrm {X} }}.$

On aura donc aussi ${\frac {r}{u^{2}}}$ égal à une fonction de ${\frac {u}{\mathrm {X} }},$ qu’on pourra dési-