Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/163

mettre immédiatement dans l’équation (C) l’expression de $\mathrm {R}$ trouvée ci-dessus, dans laquelle les trois quantités $u,x$ et $a$ entrent à la fois, ce qui donnera, en divisant les deux membres par $\mathrm {B} ,$ cette équation différentielle à trois variables

${\frac {udu+pdx}{p\mathrm {X} +u^{2}{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}}}+da=0,$

par laquelle on pourra déterminer l’une de ces variables par les deux autres.

4. Soit, pour plus de simplicité,

$r=p\mathrm {X} +u^{2}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}},$

en sorte que l’équation précédente devienne

(E)

${\frac {u}{r}}du+{\frac {p}{r}}dx+da=0.$

Or, pour que cette équation soit possible, il faut, comme on sait, qu’on ait cette condition

${\frac {u}{r}}{\frac {d{\dfrac {p}{r}}}{da}}-{\frac {p}{r}}{\frac {d{\dfrac {u}{r}}}{da}}+{\frac {d{\dfrac {u}{r}}}{dx}}-{\frac {d{\dfrac {p}{r}}}{du}}=0.$

Mais $a$ ne peut ètre contenu que dans $r,$ parce qu’on suppose que $p$ soit une fonction de $x$ et $u$ seulement ; donc on aura

${\frac {d{\dfrac {p}{r}}}{da}}=-{\frac {p}{r^{2}}}{\frac {dr}{da}},\quad {\frac {d{\dfrac {u}{r}}}{da}}=-{\frac {u}{r^{2}}}{\frac {dr}{da}},$

donc

${\frac {u}{r}}{\frac {d{\dfrac {p}{r}}}{da}}-{\frac {p}{r}}{\frac {d{\dfrac {u}{r}}}{da}}=0\,;$

de sorte que l’équation de condition se réduira à celle-ci

(F)

${\frac {d{\dfrac {u}{r}}}{dx}}-{\frac {d{\dfrac {p}{r}}}{du}}=0.$