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tion finie de $u$ et $x$ sans $a,$ et que le second est une fonction finie de $a$ seul, il est clair que si l’on y fait varier à la fois les trois quantités $x,u$ et $a,$ et qu’on suppose $d\mathrm {A} =\mathrm {B} da,$ on aura cette équation différentielle à trois variables

(C)

$\int \mathrm {R} (udu+pdx)=\mathrm {B} da,$

de sorte qu’en regardant $u$ comme une fonction de $x$ et $a$ donnée par l’équation (B), on aura

${\frac {du}{dx}}=-{\frac {p}{u}},\quad {\frac {du}{da}}={\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {R} u}}.$

2. Cela posé, considérons le temps $t$ que le corps met à parcourir l’espace $x\,;$ on aura, comme on sait,

$t=\int {\frac {dx}{u}},$

où il faudra mettre à la place de $u$ sa valeur en $x$ et $a$ donnée par l’équation (B), après quoi on intégrera en regardant $a$ comme constante, ce qui donnera pour $t$ une fonction de $x$ et $a.$

Supposons maintenant qu’on différentie cette valeur de $t$ en y faisant varier à la fois $x$ et $a,$ et l’on aura, en regardant $u$ comme une fonction de $x$ et $a,$

$dt={\frac {dx}{u}}-da\int {\frac {1}{u^{2}}}{\frac {du}{da}}dx,$

ou bien, en substituant pour ${\frac {du}{da}}$ sa valeur ${\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {R} u}},$ et mettant la quantité $\mathrm {B}$ qui est une fonction de $a$ seul hors du signe $\int ,$

(D)

$dt={\frac {dx}{u}}-\mathrm {B} da\int {\frac {dx}{\mathrm {R} u^{2}}}.$

3. Or, $\mathrm {L}$ étant (hypothèse) une fonction donnée de $x$ et $a,$ on aura

$d\mathrm {L} =\mathrm {M} dx+\mathrm {N} da,$

et comme $t$ doit être une fonction quelconque de $\mathrm {L} ,$ on aura donc aussi $\mathrm {L}$ égale à une fonction quelconque de $t,$ que nous désignerons par $\mathrm {T} \,;$