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jour sur celui des tautochrones ; je résoudrai ensuite ce dernier Problème dans toute sa généralité ; du moins je donnerai les formules les plus générales qu’on puisse désirer sur cet objet ; de là je passerai à examiner la solution que M. Fontaine donne pour générale, et je ferai voir qu’elle est incomplète, et même illusoire à certains égards.

Problème I.

Soit $a$ l’espace total que peut parcourir un corps qui part d’un point donné avec une certaine vitesse, et qui est continuellement retardé dans sa marche par une force variable $p\,;$ soient de plus $x$ un espace quelconque parcouru pendant le temps $t,$ $u$ la vitesse du corps au bout de ce temps, et $\mathrm {L}$ une fonction quelconque donnée de $x$ et de $a\,:$ on demande par quelle fonction de $u$ et de $x$ doit être exprimée la force $p,$ pour que le temps $t$ soit égal à une fonction quelconque de $\mathrm {L} .$

1. On aura d’abord, par les principes de mécanique, l’équation

(A)

$udu+pdx=0$

qui est, comme on voit, une équation différentielle du premier ordre à deux variables $x$ et $u,$ $p$ étant par l’hypothèse du Problème une fonction de $x$ et $u.$ Ainsi il y aura une fonction de $x$ et $u,$ que nous désignerons par $\mathrm {R} ,$ par laquelle cette équation étant multipliée deviendra intégrable ; de sorte qu’on aura l’équation finie

$\int \mathrm {R} (udu+pdx)=\mathrm {const} .$

Pour déterminer cette constante, on remarquera que par l’hypothèse du Problème il faut que la vitesse $u$ soit nulle au bout de l’espace $a\,;$ d’où il s’ensuit que si l’on nomme $\mathrm {A}$ ce que devient la quantité $\int \mathrm {R} (udu+pdx)$ lorsqu’on y fait $x=a$ et $u=0,$ on aura

(B)

$\int \mathrm {R} (udu+pdx)=\mathrm {A} .$

Maintenant, comme le premier membre de cette équation est une fonc-