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aura, après avoir changé les signes,

(D)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {X} }{b}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots =&\log {\frac {bp}{a}}+{\frac {p}{x}}++{\frac {p^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {p^{3}}{3x^{3}}}+\ldots \\&+\ x\,\ \left({\frac {1}{q}}\ \,+{\frac {1}{r}}\ \,+\ldots \right)\\&+{\frac {x^{2}}{2}}\left({\frac {1}{q^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {x^{3}}{3}}\left({\frac {1}{q^{3}}}+{\frac {1}{r^{3}}}+\ldots \right)+\ldots \end{aligned}}\right.$

Or cette équation doit être identique, puisqu’elle vient de l’équation identique (B) ; donc, si l’on remet à la place de $\mathrm {X}$ sa valeur

${\frac {a}{x}}+cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots ,$

et qu’on suppose

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {X} }{b}}&+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots \\&=\left(\alpha +{\frac {\beta }{x}}+{\frac {\gamma }{x^{2}}}+{\frac {\delta }{x^{3}}}+\ldots \right)+\left(\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\ldots \right),\end{aligned}}$

on aura, par la comparaison des termes,

$\alpha =\log {\frac {bp}{a}},\quad \beta =p,\quad \gamma ={\frac {p^{2}}{2}},\quad \delta ={\frac {p^{3}}{3}},\ldots$

Ainsi l’on connaîtra non-seulement la valeur de la racine $p,$ mais aussi celle de son carré, de son cube, etc., comme aussi celle de son logarithme, qui sera

$\log p=\alpha -\log {\frac {b}{a}}=\alpha +\log {\frac {a}{b}}.$

9. Exemple I. — Soit l’équation du second degré

$a-bx+cx^{2}=0\,;$

on aura donc

$\mathrm {X} ={\frac {a}{x}}+cx\,;$