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de sorte que la difficulté se réduit à trouver les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ et $p,q,r,\ldots$

Or il est facile de voir par l’Article I que

$\log \left(1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\mathrm {D} x^{4}+\ldots \right)=\mathrm {P} x+\mathrm {Q} x^{2}+\mathrm {R} x^{3}+\mathrm {S} x^{4}+\ldots .$

Qu’on différentie cette équation en faisant varier $x,$ et l’on aura, après avoir divisé par $dx,$

${\frac {\mathrm {A} +2\mathrm {B} x+3\mathrm {C} x^{2}+\ldots }{1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\ldots }}=\mathrm {P} +2\mathrm {Q} x+3\mathrm {R} x^{2}+4\mathrm {S} x^{3}+\ldots .$

Donc, multipliant en croix et comparant les termes, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} &=\mathrm {P} ,\\2\mathrm {B} &=\mathrm {2Q+AP} ,\\3\mathrm {C} &=\mathrm {3R+2AQ+BP} ,\\4\mathrm {D} &=\mathrm {4S\,+3AR\,+2BQ+CP} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {A} ,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {\frac {2B-AP}{2}} ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {\frac {3C-2AQ-BP}{3}} ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {\frac {4D-3AR-2BQ-CP}{4}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ayant déterminé ainsi les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ par les quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ on changera ces dernières en $a,b,c,\ldots ,$ et l’on aura les valeurs des quantités $p,q,r,\ldots .$

On se souviendra seulement de rejeter dans les expressions de $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q,R} ,\ldots$ les termes où $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ formeraient des produits de plus de $n$ dimensions, et dans celles de $p,q,r,\ldots$ les termes où $a,b,c,\ldots$ formeraient des produits de plus de $m$ dimensions.