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Soit, en général,

$\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\mathrm {E} x^{4}+\ldots \right)^{n}=\mathrm {P} +\mathrm {Q} x+\mathrm {R} x^{2}+\mathrm {S} x^{3}+\mathrm {T} x^{4}+\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {A} ^{n},\\\mathrm {Q} =&{\frac {n\mathrm {BP} }{\mathrm {A} }},\\\mathrm {R} =&{\frac {(n-1)\mathrm {BQ} +2n\mathrm {CP} }{2\mathrm {A} }},\\\mathrm {S} =&{\frac {(n-2)\mathrm {BR} +(2n-1)\mathrm {CQ} +3n\mathrm {DP} }{3\mathrm {A} }},\\\mathrm {T} =&{\frac {(n-3)\mathrm {BS} +(2n-2)\mathrm {CR} +(3n-1)\mathrm {DQ} +4n\mathrm {EP} }{4\mathrm {A} }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et il est très-aisé de voir la loi de cette série, et de la continuer autant qu’on voudra.

Si l’on ne voulait pas faire dépendre les coefficients $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ les uns des autres, on pourrait les déterminer immédiatement de la manière suivante.

Qu’on cherche, par exemple, le coefficient de $x^{m}$ dans la puissance $n$ du polynôme

$\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots ,$

je dis :

1^o Que ce coefficient sera formé de tous les termes qui peuvent être représentés par $\mathrm {A} ^{p},\mathrm {B} ^{q},\mathrm {C} ^{r},\mathrm {D} ^{s}\ldots ,$ $p,q,r,s,\ldots$ étant des nombres entiers positifs, et tels que

$p+q+r+s+\ldots =n\quad {\text{et}}\quad q+2r+3s+\ldots =m\,;$

2^o Que chacun de ses termes aura pour coefficients numérique

${\frac {1.2.3.4.5\ldots n}{(1.2.3\ldots p)(1.2.3\ldots q)(1.2.3\ldots r)\ldots }}.$

La démonstration de ce théorème est aisée à tirer de la théorie des combinaisons, et nous ne croyons pas devoir nous y arrêter.