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Exemples précédents. De cette manière on pourra très-facilement trouver la somme des racines d’une équation quelconque élevées à telle puissance qu’on voudra.

§ II.— De la manière de trouver par les séries la racine
d’une équation quelconque.

8. Reprenons l’équation générale

(A)

$0=a-bx+cx^{2}-dx^{3}+\ldots ,$

dont on suppose que les racines soient $p,q,r,\ldots ,$ et voyons comment on pourra trouver la valeur d’une de ces racines en particulier.

On aura d’abord, comme nous l’avons vu dans le § I.

(B)

$\ \ a-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-\ldots =a\left(1-{\frac {x}{p}}\right)\left(1-{\frac {x}{q}}\right)\left(1-{\frac {x}{r}}\right).$

Qu’on divise cette équation par $bx,$ et, en y changeant les signes, on aura

${\begin{aligned}1-{\frac {a}{bx}}-{\frac {cx-dx^{2}+\ldots }{b}}&=-{\frac {a}{bx}}\left(1-{\frac {x}{p}}\right)\left(1-{\frac {x}{q}}\right)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots \\&={\frac {a}{bp}}\left(1-{\frac {p}{x}}\right)\left(1-{\frac {x}{q}}\right)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots .\end{aligned}}$

Donc, prenant les logarithmes de part et d’autre,

(C)

$\left\{{\begin{aligned}\log &\left(1-{\frac {a}{bx}}-{\frac {cx-dx^{2}+\ldots }{b}}\right)\\&=\log {\frac {a}{bp}}+\log \left(1-{\frac {p}{x}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{q}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{r}}\right)+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Donc faisant, pour abréger,

$\mathrm {X} ={\frac {a}{x}}+cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots ,$

et réduisant en série les logarithmes de $1-{\frac {\mathrm {X} }{b}},\ 1-{\frac {p}{x}},\ 1-{\frac {x}{q}},\ldots ,$ on