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carré, le cube, la quatrième puissance, etc., de la série

$\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots ,$

et l’on poussera cette opération jusqu’à la $n$^ième puissance. On formera ensuite de la même manière les quantités $a',b',c',d',\ldots ,a'',b'',c'',d'',\ldots ,$$a''',b''',$$c''',d''',\ldots$ jusqu’à la puissance $m\,;$ et pour cela il suffira de changer, dans les valeurs correspondantesde $\mathrm {A',B',C',\ldots ,A'',B'',C''} ,\ldots ,$ les quantités $\mathrm {A,B,C,D} ,\ldots$ en $a,b,c,d,\ldots .$

Ayant ainsi toutes ces quantités, on les substituera dans la quantité

${\begin{aligned}\varphi =&\mathrm {A} a+2\mathrm {\left(B-{\frac {A'}{2}}\right)} \left(b-{\frac {a'}{2}}\right)\\&+3\mathrm {\left(C-{\frac {B'}{2}}+{\frac {A''}{3}}\right)} \left(c-{\frac {b'}{2}}+{\frac {a''}{3}}\right)\\&+4\mathrm {\left(D-{\frac {C'}{2}}+{\frac {B''}{3}}-{\frac {A'''}{4}}\right)} \left(d-{\frac {c'}{2}}+{\frac {b''}{3}}-{\frac {a'''}{4}}\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

et l’on fera ensuite l’équation

$1-\varphi +{\frac {\varphi ^{2}}{2}}-{\frac {\varphi ^{3}}{2.3}}+{\frac {\varphi ^{4}}{2.3.4}}-\ldots =0,$

en observant de rejeter tous les termes qui contiendraient des produits de $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ de plus de $n$ dimensions, ou des produits de $a,b,c,$ de plus de $m$ dimensions ; on aura, par ce moyen, l’équation qui résulte de l’élimination de l’inconnue $x$ dans les deux équations proposées.

IV.

À l’égard des coefficients $\mathrm {A',B',C',\ldots ,A'',B'',C''} ,\ldots ,$ on doit les déterminer à l’ordinaire par la formation des différentes puissances de $\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\ldots \,;$ mais, comme le calcul des puissances fort haute serait assez laborieux, on peut l’abréger par la formule suivante, dont la démonstration se tire du calcul différentiel.