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lesquelles ne diffèrent des équations (A) et (B) qu’en ce que les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ sont changés en $a,b,c,$ et l’exposant $m$ en $n,$ et vice versâ ; donc, si l’on fait sur ces équations les mêmes raisonnements et les mêmes opérations que nous avons faites sur les équations (A) et (B), on parviendra à une équation imale qui sera la même que l’équation (D) ci-dessus, à la seule différence près que $a,b,c,$ seront au lieu de $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ et réciproquement ; et l’on prouvera de même, à l’égard de cette équation, que les quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ ne sauraient former ensemble des produits de plus de $n$ dimensions.

Or, en changeant $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ en $a,b,c,\ldots ,$ on ne fait que changer $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ en $p,q,r,$ et vice versâ, comme on le voit par les expressions de ces quantités donc, comme

$\varphi =p\mathrm {P} +2q\mathrm {Q} +3r\mathrm {R} +\ldots ,$

il s’ensuit que l’équation finale dont il s’agit sera exactement la même que l’équation (D) ; d’où je conclus :

2^o Que l’équation

$1-\varphi +{\frac {\varphi ^{2}}{2}}-{\frac {\varphi ^{3}}{2.3}}+\ldots =0,$

ne doit pas non plus contenir aucun terme où les quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ se trouvent formant ensemble des produits de plus de $n$ dimensions.

III.

Voici donc à quoi se réduit notre méthode d’élimination. Étant proposées les équations

${\begin{aligned}1+\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\mathrm {D} x^{4}+\ldots &=0,\\1+\ {\frac {a}{x}}+\ \ {\frac {b}{x^{2}}}+\,\ {\frac {c}{x^{3}}}+\ {\frac {d}{x^{4}}}+\ldots &=0,\end{aligned}}$

dont la première soit du degré $m,$ et la seconde du degré $n,$ on commencera par former les quantités $\mathrm {A',B',C',D',\ldots ,A'',B'',C'',D'',\ldots ,}$$\mathrm {A''',B'''} ,$$\mathrm {C''',D'''} ,\ldots ,$ lesquelles sont les coefficients des séries qui expriment le