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est $m\,;$ j’aurai les $m$ équations suivantes

(C)

$\left\{{\begin{aligned}&1+a\alpha +b\alpha ^{2}+c\alpha ^{3}+d\alpha ^{4}+\ldots =0,\\&1+a\beta +b\beta ^{2}\,+c\beta ^{3}+d\beta ^{4}\,+\ldots =0,\\&1+a\gamma +b\gamma ^{2}\ +c\gamma ^{3}+d\gamma ^{4}\,+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$

Or il est clair que, pour que les deux équations (A) et (B) aient lieu en même temps, il faut nécessairement qu’une quelconque des $m$ équations (C) ait lieu ; donc, comme il n’y a pas de raison pour que l’une de ces équations doive plutôt avoir lieu que l’autre, il faudra que l’on ait une équation qui renferme toutes les équations (C) et qui ne puisse être vraie qu’en supposant que l’une quelconque de ces dernières équations le soit ; d’où il s’ensuit que l’équation dont il s’agit ne saurait être que le produit de toutes les équations (C), et cette équation sera par conséquent celle qui doit résulter de l’élimination de l’inconnue $x$ dans les deux équations proposées (A) et (B).

Donc, si l’on représente l’équation dont nous parlons par $\Pi =0,$ on aura

${\begin{aligned}\Pi &=\left(1+a\alpha +b\alpha ^{2}+c\alpha ^{3}+d\alpha ^{4}+\ldots \right)\\&\times \left(1+a\beta \,+b\beta ^{2}+c\beta ^{3}\,+d\beta ^{4}+\ldots \right)\\&\times \left(1+a\gamma \,+b\gamma ^{2}\,+c\gamma ^{3}\,+d\gamma ^{4}+\ldots \right)\\&\times \left(1+a\delta \ +b\delta ^{2}\ +c\delta ^{3}\ +d\delta ^{4}\,+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

le nombre des facteurs étant $m.$ Ainsi la difficulté se réduit à trouver la valeur de $\Pi$ sans connaître les racines, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots .$

Prenons les logarithmes des deux membres, et nous aurons

${\begin{aligned}\log \Pi &=\log \left(1+a\alpha +b\alpha ^{2}+c\alpha ^{3}+d\alpha ^{4}+\ldots \right)\\&+\log \left(1+a\beta \,+b\beta ^{2}+c\beta ^{3}\,+d\beta ^{4}\,+\ldots \right)\\&+\log \left(1+a\gamma \,+b\gamma ^{2}\,+c\gamma ^{3}\,+d\gamma ^{4}\,+\ldots \right)\\&+\log \left(1+a\delta \ +b\delta ^{2}\ +c\delta ^{3}\ +d\delta ^{4}\ +\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$