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7. Au reste, quoique nous n’ayons donné que la formule qui exprime la somme des puissances $n$^ièmes des quantités ${\frac {1}{p}},{\frac {1}{q}},{\frac {1}{r}},\ldots$ ($p,q,r,$ étant les racines d’une équation quelconque donnée), il est facile d’avoir aussi l’expression de la somme des puissances n^ième des racines mêmes $p,q,r,\ldots \,:$ pour cela il n’y aura qu’à changer les racines de l’équation proposée en leurs réciproques, en écrivant ${\frac {1}{x}}$ à la place de $x$ ; car, nommant $p',q',r',\ldots$ les racines de l’équation transformée, on aura

${\frac {1}{p'^{m}}}+{\frac {1}{q'^{m}}}+{\frac {1}{r'^{m}}}+\ldots =p^{m}+q^{m}+r^{m}+\ldots$

Puisque (3)

${\begin{aligned}\mathrm {X} \ \ &=\alpha x^{2}+\alpha _{1}x^{3}+\ldots ,\\\mathrm {X} ^{2}&=\beta \,x^{4}+\beta _{1}x^{5}+\ldots ,\\\mathrm {X} ^{3}&=\gamma \,x^{6}+\gamma _{1}\,x^{7}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

il est clair que si l’on fait $x={\frac {1}{y}},$ et qu’on nomme $\mathrm {Y}$ la fonction de $y$ dans laquelle $\mathrm {X}$ se changera, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {Y} y^{m}=\alpha y^{m-2}+\alpha _{1}y^{m-3}+\ldots ,\\&{\frac {d(\mathrm {Y} ^{2}y^{m+1})}{dy}}=(m-3)\beta y^{m-4}+(m-4)\beta _{1}y^{m-5}+\ldots ,\\&{\frac {d^{2}(\mathrm {Y} ^{3}y^{m+2})}{dy^{2}}}=(m-4)(m-5)\gamma y^{m-6}+(m-5)(m-6)\gamma _{1}y^{m-7}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

D’où il s’ensuit qu’on peut mettre la formule du numéro cité sous cette forme

${\frac {1}{m}}\left({\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}+{\frac {1}{r^{m}}}+\ldots \right)$

$={\frac {y^{m}}{m}}+\mathrm {Y} y^{m}+{\frac {1}{2}}{\frac {d(\mathrm {Y} ^{2}y^{m+1})}{dy}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}(\mathrm {Y} ^{3}y^{m+2})}{dy^{2}}}+\ldots ,$

pourvu qu’on y substitue, après les différentiations, ${\frac {b}{a}}$ à la place de $y,$ et qu’on ait soin de rejeter tous les termes qui contiendraient des puissances négatives de $y$ ou de ${\frac {b}{a}},$ comme nous l’avons pratiqué dans les