Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/139

et l’on aura

$x=t-ae^{mt}+{\frac {a^{2}}{2}}{\frac {de^{mt}}{dt}}-{\frac {a^{3}}{2.3}}{\frac {d^{2}e^{mt}}{dt^{2}}}+\ldots ,$

c’est-à-dire,

$x=t-ae^{mt}+{\frac {2ma^{2}}{2}}e^{2mt}-{\frac {3^{2}m^{2}a^{3}}{2.3}}e^{3mt}+{\frac {4^{3}m^{3}a^{4}}{2.3.4}}e^{4mt}-\ldots \,;$

donc, si l’on fait $t=0,$ en sorte qu’il s’agisse de déterminer $x$ par l’équation

$x+ae^{mx}=0,$

on aura

$x=-a\left(1-{\frac {2ma}{2}}+{\frac {(3ma)^{2}}{2.3}}-{\frac {(4ma)^{3}}{2.3.4}}+\ldots \right).$

Ainsi, si l’on avait la série

$1+{\frac {2\alpha }{2}}+{\frac {(3\alpha )^{2}}{2.3}}+{\frac {(4\alpha )^{3}}{2.3.4}}+\ldots ,$

et qu’on en demandât la somme, il faudrait tirer la valeur de $x$ de l’équation $x-e^{\alpha x}=0,$ et ce serait la somme cherchée.