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de sorte qu’en faisant successivement $r=1,2,3,\ldots ,$ et supposant, pour plus de simplicité, ${\frac {n}{2}}=\nu ,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {1}{1+m}}\ \ &=\ {\frac {1}{2}}\left(1+\ \nu ^{2}\ +\,\ \ {\frac {4\nu ^{4}}{2}}\ \ +\ \ \ {\frac {5.6.\nu ^{6}}{2.3}}+\,\ \ \quad {\frac {6.7.8.\nu ^{8}}{2.3.4}}+\ldots \right),\\{\frac {1}{(1+m)^{2}}}&=\ {\frac {1}{4}}\left(1+2\nu ^{2}\,+{\frac {2.5.\nu ^{4}}{2}}+{\frac {2.6.7.\nu ^{6}}{2.3}}+\,\ \ \ {\frac {2.7.8.9.\nu ^{8}}{2.3.4}}+\ldots \right),\\{\frac {1}{(1+m)^{3}}}&=\ {\frac {1}{8}}\left(1+3\nu ^{2}\,+{\frac {3.6.\nu ^{4}}{2}}+{\frac {3.7.8.\nu ^{6}}{2.3}}+\ \ {\frac {3.8.9.10.\nu ^{8}}{2.3.4}}+\ldots \right),\\{\frac {1}{(1+m)^{4}}}&={\frac {1}{16}}\left(1+4\nu ^{2}+{\frac {4.7.\nu ^{4}}{2}}+{\frac {4.8.9.\nu ^{6}}{2.3}}+{\frac {4.9.10.11.\nu ^{8}}{2.3.4}}+\ldots \right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ainsi il n’y aura qu’à substituer ces valeurs dans les expressions de $\mathrm {K} ',$$\mathrm {K'',K'''} ,\ldots ,$ et après avoir fait les multiplications nécessaires, on pourra facilement ordonner les termes par rapport aux puissances des $n.$

XIV.

Il est clair que la méthode employée dans ce Mémoire peut servir aussi à résoudre avec facilité les équations de la forme

$t=x+a\sin mx+b\cos mx+c\sin nx+f\cos nx+\ldots ,$

ou de celle-ci

$t=x+ae^{mx}+be^{nx}+ce^{px}+\ldots$

(lorsque les coefficients $a,b,c,$ sont fort petits), et d’autres équations semblables qu’on ne pourrait résoudre par les méthodes connues que d’une manière indirecte et très-laborieuse.

Supposons, par exemple, qu’on demande la valeur de $x$ en $t$ par l’équation

$t=x+ae^{mx},$

on fera, dans la formule générale de l’Article II,

$\varphi (x)=ae^{mx}\quad {\text{et}}\quad \psi (x)=x,\quad \psi (t)=t,\quad \psi '(t)=1,$