![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {K} '''=&{\frac {\mathrm {P} '''}{(1+m)^{3}}}+\left[1-{\frac {n^{2}}{(1+m)^{2}}}\right]{\frac {\mathrm {Q} '''}{2(1+m)^{2}}}+\left[1+{\frac {n^{4}}{(1+m)^{4}}}\right]{\frac {\mathrm {R} '''}{2^{2}(1+m)}}\\&+\left[1-{\frac {n^{6}}{(1+m)^{6}}}\right]{\frac {\mathrm {S} '''}{2^{3}}}+n^{2}\left[1+{\frac {n^{6}}{(1+m)^{6}}}\right]{\frac {\mathrm {T} '''}{2^{4}(1+m)}}\\&+n^{4}\left[1-{\frac {n^{6}}{(1+m)^{6}}}\right]{\frac {\mathrm {V} '''}{2^{5}(1+m)^{2}}}+n^{6}\left[1+{\frac {n^{6}}{(1+m)^{6}}}\right]{\frac {\mathrm {X} '''}{2^{6}(1+m)^{3}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/061e5d7b474ffbf191ff105906b977ab1aba4f67)
XIII.
Les valeurs des coefficients
dépendent, comme on voit, de l’excentricité
et du rapport
du grand axe au petit axe de l’ellipse ; or, si l’on suppose l’excentricité fort petite, ce qui est nécessaire pour que les séries soient convergentes, et qu’on veuille que les valeurs des coefficients soient exprimées par des séries ordonnées suivant les puissances de
il faudra mettre à la place de
sa valeur
et développer ensuite ce radical suivant les méthodes ordinaires ; donc, comme les expressions des coefficients dont il s’agit ne renferment d’autres fonctions de
que les puissances de
il est bon de voir comment il faut s’y prendre pour réduire facilement en série chacune des puissances de
![{\displaystyle {\frac {1}{1+m}}={\frac {1}{1+{\sqrt {1-n^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc27a5bc29b53003518431bfbcc58eeba6227a9)
Qu’on demande donc, en général, la valeur de
;
il est facile de voir que cette valeur sera la même que celle de
que nous avons donnée dans l’Article IX, en y faisant seulement
ce qui rend
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {1}{1+{\sqrt {1-n^{2}}}}}={\frac {1}{1+m}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a2382008cfb1b6f3a6d92b5b40b16334b27847)
ainsi l’on aura sur-le-champ
![{\displaystyle {\frac {1}{(1+m)^{r}}}={\frac {1}{2^{r}}}\left[1+r\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}+{\frac {r(r+3)}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}+{\frac {r(r+4)(r+5)}{2.3}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{6}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e05561bced8731415dfded7d05bba58cee1efe)
![{\displaystyle \left.+{\frac {r(r+5)(r+6)(r+7)}{2.3.4}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{8}+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97633a7ee5ec8e59b1a19835993307357ae0102)