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XI.

Pour avoir de la même manière la valeur du rayon vecteur

$ar=a(1+n\cos x),$

on fera, comme dans l’Article IV

$\psi (t)=n\cos t\quad {\text{et}}\quad \psi '(t)=-n\sin t,$

d’où l’on aura la fraction

${\frac {-n\sin t}{z(1+nz\sin t)}},$

laquelle peut se réduire à ces deux-ci

$-{\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{z^{2}(1+nz\sin t)}},$

de sorte qu’on aura (Article IX) une série de cette forme

${\begin{aligned}\mathrm {M} &+\,\ \mathrm {M} 'e^{t{\sqrt {-1}}}+\,\ \mathrm {M} ''e^{2t{\sqrt {-1}}}+\ \mathrm {M} '''e^{3t{\sqrt {-1}}}+\ldots \\&+\mathrm {N} 'e^{-t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {N} ''e^{-2t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {N} '''e^{-3t{\sqrt {-1}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

dans laquelle

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {M} =&{\frac {1}{\mathrm {Z} z}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}-{\frac {1}{z^{2}}},\quad &\mathrm {M} '=&-{\frac {n}{z{\sqrt {-1}}}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\quad &\mathrm {M} ''=&{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{z\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\ldots ,\\&&\mathrm {N} '=&{\frac {n}{z{\sqrt {-1}}}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},&\mathrm {N} ''=&{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{z\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\ldots .\end{alignedat}}$

Donc, substituant les valeurs de ${\frac {1}{\mathrm {Z} z}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\ {\frac {1}{z}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\ldots$ en $z$ et faisant les réductions convenables (Article VIII), on aura, pour la valeur de $r,$ la série

${\begin{aligned}r=\mathrm {B} &+{\frac {n\mathrm {B} '}{2}}\left(e^{t{\sqrt {-1}}}+e^{-t{\sqrt {-1}}}\right)-{\frac {n^{2}\mathrm {B} ''}{2^{2}}}\left(e^{2t{\sqrt {-1}}}+e^{-2t{\sqrt {-1}}}\right)\\&-{\frac {n^{3}\mathrm {B} '''}{2^{3}}}\left(e^{3t{\sqrt {-1}}}+e^{-3t{\sqrt {-1}}}\right)-\ldots ,\\\end{aligned}}$