Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/13

en général,

${\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}+{\frac {1}{r^{m}}}$

${\begin{aligned}=&\left({\frac {b}{a}}\right)^{m}-{\frac {mc}{a}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2}+{\frac {md}{a}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-3}\\&+{\frac {m(m-3)}{2a^{2}}}c^{2}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4}+{\frac {m(m-4)}{2a^{2}}}2cd\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-5}+{\frac {m(m-5)}{2a^{2}}}d^{2}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}\\&-{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3.a^{3}}}c^{3}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}+{\frac {m(m-5)(m-6)}{2.3.a^{3}}}3c^{2}d\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-7}\\&-{\frac {m(m-6)(m-7)}{2.3.a^{3}}}3cd^{2}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-8}+{\frac {m(m-7)(m-8)}{2.3.a^{3}}}d^{3}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-9}-\ldots \end{aligned}}$

cette série étant continuée jusqu’à ce qu’on parvienne à des puissances négatives de\frac{b}{a}.

6. Exemple III. — Soit l’équation

$a-bx-x^{n}=0\,;$

on aura

$\mathrm {X} ={\frac {x^{n}}{a}},$

donc

$\mathrm {X} ^{2}={\frac {x^{2n}}{a^{2}}},\quad \mathrm {X} ^{3}={\frac {x^{3n}}{a^{3}}},\ldots .$

donc

$\alpha _{n-1}={\frac {1}{a}},\quad \beta _{2n-1}={\frac {1}{a^{2}}},\ldots ,$

et toutes les autres quantités nulles ; donc

${\begin{aligned}{\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}+{\frac {1}{r^{m}}}=&\left({\frac {b}{a}}\right)^{m}\\&+{\frac {m}{a}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-n}+{\frac {m(m-2n+1)}{2a^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2n}\\&+{\frac {m(m-3n+2)(m-3n+1)}{2.3.a^{3}}}c^{2}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-3n}\\&+{\frac {m(m-4n+3)(m-4n+2)(m-4n+1)}{2.3.4.a^{4}}}2cd\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4n}+\ldots \end{aligned}}$

jusqu’à ce qu’on arrive à des puissances négatives de ${\frac {b}{a}}.$