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équation par laquelle on pourra déterminer commodément $y$ en $z.$ Or il est facile de voir, par la nature de la quantité $\mathrm {Z} ,$ que la valeur de $y=\mathrm {Z} ^{r},$ développée suivant les puissances de $z,$ sera de cette forme

$y=\mathrm {A} z^{r}+n^{2}\mathrm {B} z^{r+2}+n^{4}\mathrm {C} z^{r+4}+\ldots ,$

où le premier coefficient $\mathrm {A}$ sera ${\frac {1}{2^{r}}}.$ Substituant donc cette série à la place de $y$, et égalant à zéro les termes homogènes, on aura

${\begin{aligned}r(r+1)\mathrm {A} +\left[r^{2}-(r+2)^{2}\right]\mathrm {B} &=0,\\(r+2)(r+3)\mathrm {B} +\left[r^{2}-(r+4)^{2}\right]\mathrm {C} &=0,\\(r+4)(r+5)\mathrm {C} +\left[r^{2}-(r+6)^{2}\right]\mathrm {D} &=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\mathrm {B} =&{\frac {r(r+1)\mathrm {A} }{4(r+1)}},\\\mathrm {C} =&{\frac {(r+2)(r+3)\mathrm {B} }{4.2.(r+2)}},\\\mathrm {D} =&{\frac {(r+4)(r+5)\mathrm {C} }{4.3.(r+3)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et par conséquent, à cause de $\mathrm {A} ={\frac {1}{2^{r}}},$

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {1}{2^{r}}},\\\mathrm {B} =&{\frac {r}{2^{r+2}}},\\\mathrm {C} =&{\frac {r(r+3)}{2.2^{r+4}}},\\\mathrm {D} =&{\frac {r(r+4)(r+5)}{2.3.2^{r+6}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc

$\mathrm {Z} ^{r}={\frac {1}{2^{r}}}\left[z^{r}+r\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}z^{r+2}+{\frac {r(r+3)}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}z^{r+4}\right.$

$\left.+{\frac {r(r+4)(r+5)}{2.3}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{6}z^{r+6}+\ldots \right],$