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où l’on aura

${\begin{aligned}&p^{2}+q^{2}={\sqrt {1-n^{2}z^{2}}},\\&{\frac {q}{p}}={\frac {{\sqrt {1+nz}}-{\sqrt {1-nz}}}{\left({\sqrt {1+nz}}+{\sqrt {1-nz}}\right){\sqrt {-1}}}}={\frac {nz}{1+{\sqrt {1-n^{2}z^{2}}}}}{\frac {1}{\sqrt {-1}}}.\end{aligned}}$

De sorte que si l’on fait, pour abréger,

$\mathrm {Z} ={\frac {z}{1+{\sqrt {1-n^{2}z^{2}}}}},$

et qu’on remarque que

${\frac {1}{\mathrm {Z} }}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}={\frac {1}{z{\sqrt {1-n^{2}z^{2}}}}},$

on aura

${\frac {1}{z(1+nz\sin t)}}=$

${\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}\left({\frac {1}{\mathrm {Z} }}-{\frac {n}{\sqrt {-1}}}e^{t{\sqrt {-1}}}+{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{({\sqrt {-1}})^{2}}}e^{2t{\sqrt {-1}}}-{\frac {n^{3}\mathrm {Z} ^{2}}{({\sqrt {-1}})^{3}}}e^{3t{\sqrt {-1}}}+\ldots \right.$

$+\left.{\frac {n}{\sqrt {-1}}}e^{-t{\sqrt {-1}}}+{\frac {n^{2}\mathrm {Z} }{({\sqrt {-1}})^{2}}}e^{-2t{\sqrt {-1}}}+{\frac {n^{3}\mathrm {Z} ^{2}}{({\sqrt {-1}})^{3}}}e^{-3t{\sqrt {-1}}}+\ldots \right),$

et il ne s’agira plus que de développer, suivant les puissances de $z,$ les quantités ${\frac {1}{\mathrm {Z} }}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\mathrm {Z} {\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\ldots .$

Considérons, en général, la quantité

$\mathrm {Z} ^{r-1}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}={\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {Z} ^{r}}{dz}},$

et faisant $\mathrm {Z} ^{r}=y,$ en sorte que

$\mathrm {Z} ^{r-1}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}={\frac {1}{r}}{\frac {dy}{dz}},$

j’aurai

${\frac {dy}{y}}={\frac {rd\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} }}={\frac {rdz}{z{\sqrt {1-n^{2}z^{2}}}}}\,;$

d’où je tire, en multipliant les deux membres de cette équation en croix et différentiant après les avoir carrés,

$r^{2}ydz^{2}-\left(1-2n^{2}z^{2}\right)zdydz-\left(1-n^{2}z^{2}\right)z^{2}d^{2}y=0,$