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Supposons que les fonctions $\varphi (t)$ et $\psi (t)$ soient exprimées par des sinus et des cosinus de $t,$ il est facile de voir qu’en employant les exponentielles imaginaires, on pourra toujours développer la fraction ${\frac {\psi '(t)}{z\left[1+z(t)\right]}}$ en une série de cette forme

${\begin{aligned}\mathrm {M} &+\,\ \mathrm {M} 'e^{t{\sqrt {-1}}}+\,\ \mathrm {M} ''e^{2t{\sqrt {-1}}}+\ \mathrm {M} '''e^{3t{\sqrt {-1}}}+\ldots \\&+\mathrm {N} 'e^{-t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {N} ''e^{-2t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {N} '''e^{-3t{\sqrt {-1}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

où les coefficients $\mathrm {M,M',M'',\ldots ,N',N'',\ldots }$ seront des fonctions de $z.$ Donc, dès qu’on aura développé ces coefficients suivant les puissances de $z,$ il n’y aura qu’à mettre, dans $\mathrm {M} ,$ $t$ à la place de ${\frac {1}{z}},$ et zéro à la place de $z,z^{2},\ldots \,;$ dans $\mathrm {M} ',$ ${\frac {1}{\sqrt {-1}}}$ à la place de ${\frac {1}{z}},$ ${\frac {\sqrt {-1}}{2}}$ à la place de $z,$ ${\frac {\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}}{2.3}}$ à la place de $z^{2},$ ${\frac {({\sqrt {-1}})^{3}}{2.3.4}}$ à la place de $z^{3},\ldots \,;$ dans $\mathrm {M} ',$ ${\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}$ à la place de ${\frac {1}{z}},$ ${\frac {2{\sqrt {-1}}}{2}}$ à la place de $z,$ ${\frac {(2{\sqrt {-1}})^{2}}{2.3}}$ à la place de $z^{2},\ldots \,;$ et en général dans $\mathrm {M} ^{(r)},$ ${\frac {1}{r{\sqrt {-1}}}}$ à la place de ${\frac {1}{z}},$ ${\frac {r{\sqrt {-1}}}{2}}$ à la place de $z,$ ${\frac {(r{\sqrt {-1}})^{2}}{2.3}}$ à la place de $z^{2},\ldots \,;$ on fera les mêmes substitutions dans $\mathrm {N',N'',\ldots ,N} ^{(r)},$ mais en prenant ${\sqrt {-1}}$ avec le signe $-\,;$ et nommant $\mathrm {P,P',P'',P'''} ,\ldots$ les quantités dans lesquelles se changeront les coefficients $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,$ et $\mathrm {Q,Q',Q''} ,\ldots$ celles dans lesquelles se changeront les coefficients $\mathrm {N,N',N''} ,\ldots ,$ on aura pour la valeur de $\psi (x)$ cette expression

${\begin{aligned}\psi (x)=\mathrm {P} &+\ \ \mathrm {P} 'e^{t{\sqrt {-1}}}+\,\ \ \mathrm {P} ''e^{2t{\sqrt {-1}}}+\ \ \mathrm {P} '''e^{3t{\sqrt {-1}}}+\ldots \\&+\mathrm {Q} 'e^{-t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {Q} ''e^{-2t{\sqrt {-1}}}+\mathrm {Q} '''e^{-3t{\sqrt {-1}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

laquelle se réduira facilement à une série de sinus ou cosinus d’angles multiples de $t.$

IX.

Soit, comme plus haut, $\varphi (t)=n\sin t,$ et la fraction qu’il s’agira de développer, pour avoir la valeur de $\psi (x),$ sera

${\frac {\psi '(t)}{z(1+nz\sin t)}}.$