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multiples de $t,$ et exécutant les différentiations indiquées,

$\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u=\log {\frac {m}{1+n}}+\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}t-n$

${\begin{aligned}&+{\frac {n^{2}}{2}}\cos t\\&-{\frac {n^{3}}{2\times 2.3}}2^{2}\cos 2t\\&-{\frac {n^{4}}{4\times 2.3.4}}\left(3\cos t-3^{3}\cos 3t\right)\\&+{\frac {n^{5}}{8\times 2.3.4.5}}\left(4.2^{4}.\cos 2t-4^{4}\cos 4t\right)\\&+{\frac {n^{6}}{16\times 2.3.4.5.6}}\left({\frac {5.4}{2}}\cos t-5.3^{5}.\cos 3t+5^{5}\cos 5t\right)\\&-{\frac {n^{7}}{32\times 2.3\ldots 7}}\left({\frac {6.5}{2}}2^{6}\cos 2t-6.4^{6}.\cos 4t+6^{6}\cos 6t\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

VIII.

Les séries que nous venons de trouver dans les Articles précédents sont ordonnées par rapport aux puissances de l’excentricité $n$ or, comme leur loi est assez claire, il ne serait pas difficile de les ordonner par rapport aux sinus ou cosinus des angles multiples de $t,$ ainsi qu’on le pratique communément ; cependant, pour ne rien laisser à désirer sur ce sujet, je vais donner ici d’autres séries équivalentes à celles-là, et disposées de cette dernière manière.

Pour y parvenir je remarque (comme je l’ai déjà fait dans le Mémoire cité, n^o 17) que, si l’on prend la fraction

${\frac {\psi '(t)}{z\left[1+z\varphi (t)\right]}},$

qu’on la développe suivant les puissances de $z,$ ce qui donne

${\frac {\psi '(t)}{z}}-\varphi (t)\psi '(t)+z\left[\varphi (t)\right]^{2}\psi '(t)-z^{2}\left[\varphi (t)\right]^{3}\psi '(t)+\ldots ,$

et qu’ensuite on change ${\frac {1}{z}}$ en $\int dt,$ $z$ en ${\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}},$ $z^{2}$ en ${\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}},\ldots ,$ et ainsi des autres puissances de $z,$ on aura la valeur de la fonction $\psi (x)$ (Article II).