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donc

$\alpha =-{\frac {c}{a}},\quad \beta ={\frac {c^{2}}{a^{2}}},\quad \gamma =-{\frac {c^{3}}{a^{3}}},\ldots ,$

et toutes les autres quantités $\alpha _{1},\beta _{1},\ldots$ nulles ; donc, si $p$ et $q$ sont les racines de cette équation, on aura, en général,

${\begin{aligned}{\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}=&\left({\frac {b}{a}}\right)^{m}-{\frac {mc}{a}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2}+{\frac {m(m-3)c^{2}}{2a^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4}\\&-{\frac {m(m-4)(m-5)c^{3}}{2.3a^{3}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}+\ldots ,\end{aligned}}$

en continuant cette série jusqu’à ce qu’on arrive à des puissances négatives de ${\frac {b}{a}}.$

5. Exemple II. — Soit encore l’équation générale du troisième degré

$a-bx+cx^{2}-dx^{3}=0\,;$

on aura, dans ce cas,

$\mathrm {X} =-{\frac {-cx^{2}+dx^{3}}{a}}=-{\frac {x^{2}}{a}}(c-dx),$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}\mathrm {X} ^{2}&={\frac {x^{4}}{a^{2}}}\left(c^{2}-2cdx+d^{2}x^{2}\right),\\\quad \mathrm {X} ^{3}&={\frac {x^{6}}{a^{3}}}\left(c^{3}-3c^{2}dx+3cd^{2}x^{2}-d^{3}x^{3}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc

$\alpha =-{\frac {c}{a}},\quad \alpha _{1}={\frac {d}{a}},\quad \beta =-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},\quad \beta _{1}=-{\frac {2cd}{a^{2}}},\quad \beta _{2}={\frac {d^{2}}{a^{2}}},$

$\gamma =-{\frac {c^{3}}{a^{3}}},\quad \gamma _{1}={\frac {3c^{2}d}{a^{3}}},\ldots .$

Donc, nommant $p,q,r$ les trois racines de l’équation proposée, on aura,