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différentiations indiquées, on aura

${\begin{aligned}x=&t-n\sin t+{\frac {n^{2}}{2\times 2}}2\sin 2t\\&+{\frac {n^{3}}{4\times 2.3}}\left(3\sin t-3^{2}\sin 3t\right)\\&-{\frac {n^{4}}{8\times 2.3.4}}\left(4.2^{3}.\sin 2t-4^{3}\sin 4t\right)\\&-{\frac {n^{5}}{16\times 2.3.4.5}}\left({\frac {5.4}{2}}\sin t-5.3^{4}.\sin 3t+5^{4}\sin 5t\right)\\&-{\frac {n^{6}}{32\times 2.3.4.5.6}}\left({\frac {6.5}{2}}2^{5}\sin 2t-6.4^{5}.\sin 4t+6^{5}\sin 6t\right)\\&-{\frac {n^{7}}{64\times 2.3.4.5.6.7}}\left({\frac {7.6.5}{2.3}}\sin t-{\frac {7.6}{2}}3^{6}\sin 3t+7.5^{6}.\sin 5t-7^{6}\sin 7t\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ainsi l’on connaîtra l’anomalie de l’excentrique $x$ par l’anomalie moyenne $t,$ ensuite de quoi on pourra trouver le rayon vecteur $r$ et l’anomalie vraie $u$ par les formules

$r=1+n\cos x,\quad {\text{et}}\quad \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u={\frac {m}{1+n}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}x\,;$

mais on peut aussi trouver les valeurs de $r$ et de $\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u$ directement de la manière suivante.

IV.

Il est clair que pour avoir la valeur de

$r=1+n\cos x,$

il n’y aura qu’à faire dans la formule générale de l’Articte II $\psi (x)=n\cos x,$ ce qui donnera $\psi (t)=n\cos t$ et $\psi '(t)=-n\sin t,$ de sorte qu’on aura sur-le-champ

$r=1+n\cos t+n^{2}\sin ^{2}t-{\frac {n^{3}}{2}}{\frac {d\sin ^{3}t}{dt}}++{\frac {n^{4}}{2.3}}{\frac {d^{2}\sin ^{4}t}{dt^{2}}}-\ldots .$

Donc, substituant les valeurs de $\sin ^{2}t,\sin ^{3}t,\ldots$ en sinus et cosinus