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Si l’on voulait avoir l’expression de l’angle $u,$ on différentierait cette équation, ce qui donnerait

${\frac {du}{\cos ^{2}{\frac {1}{2}}u}}={\frac {m}{1+n}}{\frac {dx}{\cos ^{2}{\frac {1}{2}}x}},$

ou bien

${\frac {du}{1+\cos u}}={\frac {m}{1+n}}{\frac {dx}{1+\cos x}},$

et, substituant pour $1+\cos u$ sa valeur $(1+n){\frac {1+\cos x}{1+n\cos x}},$ on aurait

$du={\frac {mdx}{1+n\cos x}}.$

Ainsi l’on aura d’abord $x$ en $t,$ et ensuite $r$ et $u$ en $x.$

II.

Il faut donc commencer par tirer la valeur de $x$ de l’équation

$t=x+n\sin x,$

ce qui ne peut se faire que par approximation ; or, de toutes les méthodes connues d’approximation, je crois que la plus simple et la plus générale est celle que j’ai exposée dans mon Mémoire sur la résolution des équations littérales. J’ai prouvé dans ce Mémoire que si l’on a une équation quelconque, telle que

$\alpha -x+\varphi (x)=0$

[$\varphi (x)$ dénotant une fonction quelconque de $x$], et qu’on veuille avoir la valeur d’une autre fonction quelconque de $x,$ telle que $\psi (x),$ faisant ${\frac {d\psi (x)}{dx}}=\psi '(x),$ la série

$\psi (x)+\varphi (x)\psi '(x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d[\varphi (x)]^{2}\psi '(x)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}[\varphi (x)]^{3}\psi '(x)}{dx^{2}}}+\ldots$

exprimera la fonction cherchée, en y mettant après les différentiations, à la place de $x.$ D’où il suit qu’ayant l’équation

$t=x-\varphi (x),$