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rectement que l’anomalie moyenne par l’anomalie vraie ; et pour avoir l’expression de celle-ci par le moyen de celle-là, il faut employer la méthode du retour des suites, qui est non-seulement longue et pénible, mais qui a aussi l’inconvénient de donner des séries irrégulières où l’on ne saurait connaître la loi des termes. J’ai donné, dans un Mémoire imprimé dans le volume de l’année 1768^[1], une méthode particulière pour résoudre, par le moyen des séries, toutes les équations, soit algébriques ou transcendantes ; comme cette méthode joint à l’avantage de la facilité et de la simplicité du calcul celui de donner toujours des séries régulières et dont le terme général soit connu, j’ai cru qu’il ne serait pas inutile d’en faire l’application au fameux Problème de Képler, et de fournir par là aux Astronomes des formules plus générales que celles qu’ils ont eues jusqu’à présent pour la solution de ce Problème c’est là l’objet du présent Mémoire

I.

Soit $\mathrm {ABD}$ une demi-ellipse dont le grand axe $\mathrm {AD}$ est égal à $2a,$ le demi-petit axe $\mathrm {CB}$ égal à $ma,$ la demi-excentricité $\mathrm {CF}$ égale à $na=a{\sqrt {1-m^{2}}},$

demi-ellipse dans demi-cercle

en sorte que $n={\sqrt {1-m^{2}}}\,;$ soit de plus le rayon vecteur $\mathrm {FL}$ égal à $ar,$ l’angle de l’anomalie vraie $\mathrm {DFL}$ égal à $u,$ le rapport de l’aire entière de l’ellipse à l’aire $\mathrm {DFL}$ comme l’angle de quatre droits, que je nomme $\varpi ,$ à l’angle $t$ qui sera par conséquent l’angle de l’anomalie moyenne ; il s’agit de déterminer tant $r$ que $u$ par $t.$

Pour cela on décrira sur le grand axe $\mathrm {AD}$ le demi-cercle $\mathrm {AED} ,$ et ayant

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 5.